6.Метод Гаусса-Зейделя

Метод Гаусса-Зейделя является итерационным методом.

Рассмотрим самое обычное СЛАУ:

Выполним следующие преобразования.

Умножим обе части уравнения на транспонированную матрицу слева (напомним, что умножение матриц некоммутативно!):

Введём следующие обозначения:

После этого будем заниматься решением следующей СЛАУ, которая эквивалентна исходной:

Такая СЛАУ называется нормальной, так как матрица C в данном случае будет симметрична относительно главной диагонали. Это свойство нормальности позволяет привести СЛАУ к следующему виду:

где и

Вот эти соотношения и являются теоретической базой метода Гаусса-Зейделя. Теперь организуем итерационный процесс на основе этих соотношений.

Обозначим начальное приближение для решения СЛАУ вида .

Вычислим новое приближение по следующим формулам в соответствии с вышеописанной теоретической базой:

Обратите внимание, что в формировании первого соотношения участвует только первое уравнение, в формировании второго – два первых уравнения и так далее. Поэтому этот метод является достаточно экономичным. Соотношение в общем виде выглядит так:

А последнее вычисление имеет вид:

После реализации этих n соотношений у нас оказывается вычисленным очередное приближение . Чтобы вычислить следующее приближение , нужно повторить вычисления.

Существуют два критерия останова итерационного процесса метода Гаусса-Зейделя – максимальное количество итераций и заданная точность .

Справедлива также то, что итерационный процесс Гаусса-Зейделя для приведённой СЛАУ, эквивалентной нормальной, всегда сходится к единственному решению этой системы при любом выборе .

Теперь в полной мере запишем алгоритм:

ШАГ 1.

Задаём точность вычисления

И начальное приближение

ШАГ 2.

Вычисляем:

Коэффициенты и .

ШАГ 3.

Делаем вычисления по формулам итерационного процесса,

ШАГ 4.

Вычисляем максимальную разницу между соответствующими элементами нового и старого приближения: . Эта разница стремится к нулю, поэтому и является оценкой точности.

ЕСЛИ , то заданная точность достигнута

СТОП

ИНАЧЕ GOTO ШАГ 3

Задача 4.2.

Решение.

Теперь приведём СЛАУ к нормальному виду:

Расставляем индексы:

Возьмём начальное приближение :

Ответ:

Лекция 6. Нормы векторов и матриц

Пусть дана СЛАУ вида . Точное её решение – , а приближённое - . Тогда величина погрешности вычислений составляет , при этом , и являются элементами n-мерного векторного пространства ( ).

7.Норма вектора

Говорят, что в пространстве задана норма, если каждому сопоставлено число (читается – «норма икс»), обладающее свойствами:

1. всегда,

тогда и только тогда, когда

2. 

3. 

Наиболее распространена норма следующего вида:

Но на практике чаще всего используются следующие частные случаи:

1. 

2. 

3. 

Примечания:

1. Норма - обычная евклидова норма.

2. Формула для получена из формулы для с помощью предельного перехода при .

3. Верно следующее неравенство:

Задача 6.1.

Дан вектор в трёхмерном пространстве .

Найти его нормы .

Решение.