4.Метод Бирге-Виета

Метод Бирге-Виета представляет из себя улучшенный метод Ньютона-Рафсона с помощью схемы Горнера.

Пусть у нас есть уравнение , где - полином n порядка, и итерационная формула Ньютона-Рафсона .

По правилу Горнера можно получить - смотри формулу (*).

И по формуле (*) .

Тогда - отсюда получается, что .

Но: - многочлен степени, поэтому его также можно вычислить по схеме Горнера в следующем виде:

И подставляя найденные и в формулу Ньютона-Рафсона получаем:

Это и есть основная формула метода Бирге-Виета.

Задача 3.1.

Найти корень полинома , расположенный вблизи значения .

Решение методом Ньютона-Рафсона:

Ответ:

Решение схемой Горнера:

- для нахождения

- для нахождения

Первая итерация :

Вторая итерация :

Третья итерация :

Обратите внимание, что дальше считать не имеет смысла - с точностью до 4 знаков – заданная точность достигнута.

Ответ:

Лекция 4-5. Решение слау

СЛАУ – Система Линейных Алгебраических Уравнений – это уравнение вида:

,

где – матрица размерностью , и – вектор-столбцы , при этом матрица не вырожденная (её определитель не равен нулю).

5.Метод Гаусса

Метод Гаусса – это прямой метод решения СЛАУ, то есть с его помощью можно получить конечный результат за конечное число шагов, при условии точности вычислений.

Если матрица не вырождена, то существует система вида , где представляет собой верхнюю треугольную матрицу.

Верхняя треугольная матрица – это матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Соответственно, после построения матрицы можно выполнить обратную подстановку снизу вверх и получить решение исходной СЛАУ. Обратите внимание, что и построение верхней треугольной матрицы, и обратная подстановка выполняются за конечное число шагов.

Расширенная матрица системы – это матрица , к которой справа «приделан» столбец . Будем обозначать её как :

Существуют три элементарные операции над расширенной матрицей, которые приведут к решению эквивалентной СЛАУ:

1. Перестановка – любые две строки можно поменять местами;

2. Масштабирование – любую строку можно умножить на константу, не равную нулю;

3. Замещение – любую строку можно заменить суммой этой же строки и любой другой строки, умноженную на константу, не равную нулю.

Соответственно идея метода Гаусса заключается в построении верхней треугольной матрицы с помощью элементарного ряда операций.

Напоминаю, что в суперскрипте в скобках записана не степень, а номер итерации, на которой вычислен этот элемент.

ШАГ 1. Построение верхней треугольной матрицы

ДЛЯ //для всех строк, кроме последней

Выполнить следующие шаги:

ШАГ 1.1.

Находим максимальный по модулю элемент в k строке, но

расположенный НЕ ВЫШЕ ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛИ

m – номер строки найденного элемента

Меняем местами строки k и m.

Таким образом мы осуществляем выбор главного элемента в k столбце

Полученную после перестановки матрицу обозначим как:

ШАГ 1.2.

ДЛЯ //для всех строк ниже k

Из каждой строки p вычитаем строку k, умноженную на такой коэффициент, чтобы элементы ниже были равны нулю

Вычисляем коэффициент

И выполняем вычитание:

КОНЕЦ ЦИКЛА ДЛЯ p

КОНЕЦ ЦИКЛА для k

ШАГ 2.

Процесс построения верхней треугольной матрицы закончен

Теперь выполняем процесс обратной подстановки:

СТОП

Задача 4.1.

Решение.

Ищем главный элемент в первом столбце и с помощью замены 1 и 3 строк помещаем его в главную диагональ:

Вычисляем масштабирующие коэффициенты для 2, 3 и 4 строк:

после чего умножаем соответствующие строки на свой коэффициент и ИЗ них вычитаем первую:

Теперь ищем главный элемент во втором столбце из всех, кроме верхнего (так как он находится выше главной диагонали), и заменой 2 и 3 строк помещаем его в главную диагональ:

Вычисляем масштабирующие коэффициенты для 3 и 4 строк:

после чего умножаем их на соответствующий коэффициент и ИЗ них вычитаем вторую:

В третьем столбце главный элемент уже стоит в главной диагонали, и менять строки не нужно:

Остаётся только ИЗ 4 строки, умноженной на коэффициент, вычесть третью:

Получили верхнюю треугольную матрицу, которая эквивалентна системе:

Остаётся только выполнить обратную подстановку:

Ответ:

Примечание. Помимо описанной стратегии выбора главного элемента существует также тривиальная, которая заключается в том, что если , то он и принимается за главный. Иначе если он равен нулю, то ищется первая строка ниже , где элемент и меняются местами строки i и k.

Однако не рекомендуется её применять, так как в некоторых случаях она чревата потерей точности решения. Из теории известно, что чем меньше коэффициенты, на которые делятся строки, тем меньше относительная ошибка при выполнении арифметических операций, и, следовательно, тем точнее решение СЛАУ.