2.Итерационное уточнение корней

Перейдём ко второму этапу решения поставленной задачи.

Итерационное уточнение корней – это вычислительный метод уточнения корня с заданной точностью.

Рассмотрим некоторые из этих методов.

2.1.Метод бисекции

Также называется метод деления отрезка пополам.

Пусть – отрезок, являющийся результатом локализации, при этом функция на нём непрерывна и – единственный корень на данном интервале.

Важное примечание. С помощью записи будем обозначать приближение корня , найденного на итерации с номером .

ШАГ 1.

Задать:

Точность вычислительного метода

Нулевую итерацию

Текущие левую и правую границы

Начальное приближение корня

ШАГ 2.

ЕСЛИ , то

Заданная точность достигнута

Корень равен

СТОП

ИНАЧЕ

Заданная точность не достигнута

Продолжить вычисления

ШАГ 3.

Сузим отрезок.

Выберем ту его половинку, в которой функция меняет знак

ЕСЛИ , то:

Корень находится в левой половинке

Необходимо убрать правую

,

ИНАЧЕ

Корень находится в правой половинке

Необходимо убрать левую

,

ШАГ 4.

Вычисляем текущее приближение корня

ШАГ 5.

Увеличиваем счётчик , переходим к следующей итерации

GOTO ШАГ 2.

Примечания

1. Критерием останова алгоритма является достижение заданной точности. Тем не менее, для предотвращения отказа машины от облуживания в более сложных случаях необходимо также предусмотреть ограничение по количеству итераций.

2. Внимание! Этот алгоритм неприменим для нахождения корня кратной чётности, угадайте почему.

3. Замечание относительно погрешности. Если корень , то погрешность приближения не превышает половины длины отрезка :

Задача 1.4.

Методом бисекции с точностью найти положительный корень уравнения .

Решение. Это уравнение из задачи 1.2, в которой требовалось локализовать корни этого уравнения. Нас просят найти положительный корень , который находится на отрезке . При расчёте значений функции точность соблюдать не нужно, нам всего-то надо определить знак.

Ит.	Значения	Точность	Что дальше
0			Знак меняется в правой части, убираем левую
1			Знак меняется в левой части, убираем правую
2			Убираем левую часть
3			Убираем левую часть
4			Убираем правую часть
5			Убираем левую часть
6			Достигнута заданная точность

Ответ:

2.2.Метод простой итерации

Преобразуем исходное уравнение к следующему эквивалентному виду:

Далее выбираем каким-либо образом начальное приближение и подставляем его в правую часть нового уравнения. То что получилось в результате этой подстановки, обозначим :

Получаем новое приближение . Снова подставляем его в правую часть, новое приближение также подставляем и т.д.

Таким образом мы организуем следующий итерационный процесс

Если - непрерывная функция, а последовательность сходится, то существует предел, являющийся решением этого уравнения:

Обоснование.

Пусть выражение верно.

Тогда перейдём к пределу в равенстве, описывающем итерационный процесс. Получаем:

Так как , то и .

Примечание. Возможны ситуации, когда последовательность является расходящейся. Это означает то, и только то, что данный метод в данных условиях неприменим.

Достаточное условие сходимости.

Пусть уравнение имеет единственный корень на интервале . Тогда итерационная последовательность сходится для при для любых , если выполнены следующие условия:

1. Функция определена и дифференцируема на этом интервале

2. И её производная такова, что (скорость роста функции по модулю меньше чем единица)

Вот геометрическая интерпретация достаточного условия сходимости.

Случай А. Производная функции положительна на отрезке и везде по модулю меньше единицы ( ). Это означает что угол наклона касательной в каждой точке исходной функции меньше 45° ( ), то есть наша функция монотонно возрастает, является вогнутой и в пределах нужного нам отрезка находится ниже прямой (угол наклона которой и составляет 45°).

Тогда последовательность сходится монотонно.

Случай Б. Производная функции отрицательна на отрезке и везде по модулю меньше единицы (). Это означает что угол наклона касательной в каждой точке исходной функции больше 45° ( ), то есть наша функция монотонно убывает и является вогнутой и угол наклона её касательных изменяется от 0° до 45°.

Тогда последовательность сходится колебательно.

Случай В. Производная функции положительна на отрезке и в некоторых местах становится больше единицы ( ). Это означает что в функции найдутся места, в которых угол наклона касательной больше 45°.

Тогда последовательность расходится, потому что не выполняется достаточное условие. Причём расходимость монотонная.

Случай Г. Производная функции отрицательна на отрезке и в некоторых местах становится больше единицы (). Это означает что в функции найдутся места, в которых угол наклона касательной меньше .

Тогда последовательность расходится, потому что не выполняется достаточное условие. Причём расходимость колебательная.

Оценка погрешности.

Критерий окончания итерационного процесса определяется на основе априорной оценки процесса.

Пусть выполнено достаточное условие сходимости. Тогда верна следующая апостериорная оценка погрешности:

,

Где - максимальная скорость роста производной.

Из этой формулы следует, что вычисления стоит вести до выполнения следующего условия:

Процесс должен быть остановлен после достижения заданной точности.

Задача 1.5.

Решить уравнение методом простой итерации с точностью . Найти корень на интервале .

Решение. Так как на заданном интервале , то преобразование к виду можно выполнить делением обеих частей на :

Проверим достаточное условие сходимости:

1. Производная на отрезке существует

2. - скорость роста функции по модулю меньше 1

Вычислим критерий останова:

Пусть начальным приближением будет середина заданного отрезка . Тогда мы можем начать итерационный процесс:

	- условие останова выполнено

Ответ: