19.Формула Симпсона
Как известно, через три точки можно провести параболу.
При
.
Это – формула Симпсона. Геометрически это означает то, что интегрируемая функция заменяется не на прямую, как в формуле трапеции, а на параболу, что даёт немного более точный результат:
20.Формула Симпсона 3/8
Геометрически это – кубическая парабола
21.Формула Буля
Задача.
Вычислить ОИ с помощью каждой из формул (кроме 3/8):
Рассчитать относительную погрешность
каждого решения, если точное решение
.
Решение. Предположим, что функция
задана не аналитически, а с помощью
набора дискретных значений с шагом
:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1 |
|
1 |
1.6553 |
1.5515 |
1.0666 |
0.7216 |
Формула трапеции.
Воспользуемся методом «разделяй и властвуй».
|
|
|
1 |
1.6553 |
0.3319 |
1.6553 |
1.5515 |
0.4009 |
1.5515 |
1.0666 |
0.3273 |
1.0666 |
0.7216 |
0.2235 |
Сумма: |
1.2836 |
|
Формула Симпсона
|
|
|
|
1 |
1.6553 |
1.5515 |
0.7644 |
1.5515 |
1.0666 |
0.7216 |
0.5450 |
Сумма: |
1.3094 |
||
Формула Буля
|
|
|
|
|
|
1 |
1.6553 |
1.5515 |
1.0666 |
0.7216 |
1.3086 |
Результат
|
Точно |
Формула Трапеции |
Формула Симпсона |
Формула Буля |
|
1.3083 |
1.2836 |
1.3094 |
1.3086 |
|
- |
0.0247 |
0.0011 |
0.0003 |
|
- |
0.0189 |
0.0008 |
0.0002 |
Список литературы Основная литература
Амосов А.А., Дубинский Ю.Д., Копчёнова Н.В. «Вычислительные методы для инженеров» – М.: Высшая шк., 1994 – 544 с.
Рябенький А.С. «Введение в дискретную математику: Учебное пособие для вузов» – М.: Физматлит, 1994 – 336 с.
Азаров А.И., Басик В.А. и др. «Сборник задач по методам вычислений: учебное пособие для вузов» - под ред. Монастырского – М.: Физматлит, 1991 – 320 с.
Дж. Мэтьюз, К. Финг, «Численные методы. Использование MATLAB» / пер. с англ – М.: Вильямс, 2001 – 720 с.
«Начало работы в MATLAB» / пер. с англ Конюшенко В.В. – http://www.exponenta.ru/educat/free/matlab/gs.pdf
Дополнительная литература
Бахвалов Н.С. «Численные методы, ч.1» – М.: Наука, 1975 – 631 с.
Дж. Фарсайт, М. Малькольм «Машинные методы математических вычислений» – М.: Мир, 1980 – 279 с.
Данное учебно-методическое пособие предназначено для преподавателей по курсу 1605 «Вычислительная математика», а также для студентов, изучающих этот курс.
Автор к.т.н., доцент Серов В.А. Технический редактор Головнёв И.И.
Москва, кафедра ИТ-6, МГУПИ, 2012