17.Интерполяционная формула Лагранжа для равноотстоящих узлов

Построим на интервале систему равноотстоящих узлов , где .

В таком случае шаг интерполирования – постоянная величина и вычисляется , при этом полином Лагранжа имеет более удобный и компактный вид.

В исходном виде полином выглядит так:

.

Введём следующее обозначение:

Вычислим производную от этого значения (напомним правило вычисления производной от произведения: - справедливо для любого количества множителей):

Раз это так, то при имеем:

Тогда полином Лагранжа приобретает вид:

Теперь используем условие равноотстоящих узлов. Сделаем подстановку , тогда . Теперь получим новое представление функции :

В общем виде:

Используя это соотношение, получаем:

С целью дальнейшего сокращения записи введём ещё одно обозначение . Тогда формула приобретает совсем компактный вид:

Учитывая, что при постоянном шаге имеет место быть соотношение , то последовательно находим:

Эта система соотношений содержит ровно строк, так как строка отсутствует. При этом разница первые строки до (левее него) положительны, а остальные (правее него) – отрицательны.

На основе этого вывода получаем следующее соотношение:

С учётом всех новых представлений формула Лагранжа для равноотстоящих узлов принимает вид:

Все сокращаются, выносим в числитель так как там она красивее смотрится:

Это и есть представление формулы Лагранжа для равноотстоящих узлов.

Задача 8.4.

Функция задана в виде таблицы:

	0	1	2
	2	3	4
	4	-2	6

Как можно заметить, шаг узлов интерполяции равномерен. Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов.

Решение.

Ответ:

Лекция 12. Вычисление определённых интегралов

Любой интеграл можно посчитать приближённо. Для начала заменим подынтегральную функцию на полином Лагранжа:

где коэффициент вычисляется как .

Примечательно то, что коэффициенты не зависит от функции , так как они составлены только с учётом узлов интерполяции.

Предположим, что шаг интегрирования (читай «интерполяции») постоянен, т.е. мы можем воспользоваться формулой Лагранжа для равноотстоящих узлов.

Пусть , где - шаг интегрирования (интерполяции). Тогда .

Тогда формула принимает вид:

Поскольку мы перешли к новой переменной, то , и получаем, что при , а при , поэтому:

Где .

Окончательно с учётом формул получаем следующий вид квадратурных формул:

Это – формула Ньютона-Котса. Фактически она заключает в себе представление большинства известных методов интегрирования. Для различного (числа отрезков разбиения) возможны различные представления этой формулы.

18.Формула трапеции

При .

Тогда для формулы Ньютона-Котса получаем коэффициенты и :

И по формуле Ньютона-Котса получаем:

Это и есть формула трапеции – простейший способ вычисления ОИ. Интегрируемая функция просто заменяется на участке интегрирования линейной функцией и величина интеграла составляет площадь трапеции – полусумма оснований, умноженная на высоту.

Естественно, при таком расчёте получается большая погрешность, но её легко можно уменьшить, разбив интервал на большее количество частей и считать каждый с помощью трапеции.