4Устойчивость системы
Под устойчивостью понимается способность системы возвращаться к установившемуся режиму после приложения и снятия внешних воздействий.
При определении устойчивости системы частотными методами используются критерии устойчивости Найквиста и Михайлова.
4.1 Критерий устойчивости Найквиста
В основу критерия Найквиста положен анализ поведения годографа амплитудно-фазочастотной характеристики разомкнутой системы.
Замкнутая система устойчивая, если годограф амплитудно-фазочастот-ной характеристики разомкнутой системы при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывает точку с координатами (-1, j0). Точка с координатами (-1, j0) называется границей устойчивости.
Если годограф охватывает точку с координатами (-1, j0), то система неустойчивая.
Амплитудно-фазочастотная характеристика разомкнутой системы (согласно 3.3) имеет вид:
(4.22)
При построении годографа можно воспользоваться или компьютерной графикой в среде MathCad, или следующей методикой:
- произвести разделение уравнения на действительную и мнимую часть;
- определить частоты, при которых мнимая частотная характеристика обращается в нуль, т.е. частоты, при которых годограф пересекает действительную ось комплексной системы координат;
- определить для этих частот значения вещественной частотной характеристики и отложить их на действительной оси;
- определить частоты, при которых вещественная частотная характеристика обращается в нуль, т.е. частоты, при которых годограф пересекает мнимую ось комплексной системы координат;
- определить для этих частот значения мнимой частотной характеристики и отложить их на мнимой оси;
- отрицательные и комплекно-сопряженные частоты должны быть отброшены, как физически не имеющие смысла;
- оценить значения вещественной и мнимой частотных характеристик при частоте, стремящейся в бесконечность (ω → ∞);
- задаваясь рядом промежуточных значений частот, рассчитываются вещественные и мнимые частотные характеристики и откладываются на комплексной плоскости;
- соединяя полученные точки в порядке увеличения частот, строится годограф Найквиста и делается вывод об устойчивости системы.
Предлагается критерий Найквиста применить для определения устойчивости системы с передаточной функцией регулятора Wрег=1.
4.2 Запасы устойчивости
Используя годограф Найквиста можно определить запасы устойчивости по амплитуде и фазе.
4.2.1 Под запасом устойчивости по амплитуде понимают во сколько раз можно изменит (увеличить для данной системы) коэффициент усиления разомкнутой системы, не вводя дополнительного фазового сдвига в систему, чтобы система пришла на границу устойчивости.
4.2.2 Под запасом устойчивости по фазе понимают какой дополнительный фазовый сдвиг можно ввести в разомкнутую систему, не изменяя коэффициент усиления системы, чтобы система пришла на границу устойчивости.
4.3 Критерий устойчивости Михайлова
Критерий устойчивости Михайлова основан на анализе амплитудно-фазочастотной характеристики (АФЧХ) характеристического уравнения замкнутой системы и формулируется следующим образом.
Система устойчивая, если годограф характеристического уравнения замкнутой системы при частоте, равной нулю, начинается на действительной положительной оси и при изменении частоты в бесконечность последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) обходит «n» квадрантов, где «n» - порядок характеристического уравнения.
В противном случае - система неустойчивая.
Для расчета и построения годографа необходимо записать уравнение знаменателя передаточной функции замкнутой системы и вместо оператора Лапласа «р» подставить «jω». Характеристическое уравнение есть знаменатель передаточной функции замкнутой системы по заданию (3.2):
(4.23)
Раскрывая скобки, и подставляя вместо оператора Лапласа «р» выражение «jω», получим:
(4.24)
где 
- вещественная частотная характеристика;
- мнимая частотная характеристика.
Для построения годографа Михайлова можно использовать методику, приведенную выше при построении годографа Найквиста.
Предлагается критерий Михайлова использовать для определения устойчивости системы с регулятором, представленным формулами (3.10) или (3.11).