5. Распределение

Пусть – нормально распределенные случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю, и СКО, равным единице. Такой ряд можно получить, осуществив замену переменных . Закон распределения суммы квадратов n независимых случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией называется -распределением.

Плотность вероятности такого распределения описывается выражением

, , (2.15)

где Г(z) – гамма-функция, определяемая как или через тождество Г(х + 1) = х·Г(х) (для целых положительных z Г(z) = z!);

n – параметр распределения, называемый числом степеней свободы.

Графики плотности распределения вероятностей при n, равном 1, 2, 3 и 7 приведены на рис. 2.9.

6. Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента описывает плотность распределения среднего арифметического, вычисленного по выборке из n измерений величины, распределенной по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

В еличина распределена нормально, выборочное СКО η ряда определяется как . Частное от деления этих независимых случайных величин имеет плотность распределения

. (2.16)

Математическое ожидание для этой функции равно нулю, а дисперсия . При увеличении n распределение Стьюдента переходит в нормальное (непрерывная линия на рис. 2.10), а при небольших n от нормального отличается.

7. Распределение Фишера

Пусть и нормально распределенные независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями. Величины и имеют -распределение с m и n степенями свободы соответственно. Величина имеет плотность распределения

, х > 0. (2.17)

Основная область применения распределения Фишера – проверка гипотезы о равнорассеянности двух рядов измерений.

8. Распределение Рэлея

Это распределение имеет модуль двумерного вектора, координаты которого распределены нормально с нулевым математическим ожиданием и равными дисперсиями

, (2.18)

где , .

Распределение используют для аппроксимации распределений контролируемых показателей, которые могут быть только одного знака – например, отклонения формы и расположения осей и поверхностей деталей: овальность, конусность, радиальное биение, отклонение от перпендикулярности или параллельности или в задачах определения параметров отклонения от цели. График плотности распределения приведен на рис. 2.11.

9. Д ругие законы распределения

Если случайная величина х принимает значения лишь в пределах некоторого конечного интервала от х₁, до х₂ с постоянной плотностью вероятностей (рис. 2.12), то такое распределение называется равномерным и описывается соотношениями

(2.19)

Математическое ожидание величины х

.

В силу симметрии равномерного закона распределения медиана величины х также равна . Моды закон равномерной плотности не имеет. Дисперсия и СКО величины х определяются по формулам:

.

В метрологической практике встречаются и другие распределения. На рис. 2.13 приведены примеры распределений случайной величины: рис. 2.13, а – треугольное (закон Симпсона), рис. 2.13, б – трапецеидальное, рис. 2.13, в – антимодальное I рода, рис. 2.13, г – антимодальное II рода.

Плотность распределения вероятностей для треугольного распределения имеет выражение

(2.20)

По такому закону распределены погрешности суммы (разности) двух равномерно распределенных величин с одинаковыми дисперсиями. Если дисперсии различны, сумма (разность) описывается трапецеидальным законом.