Оценка случайной погрешности
К оценкам, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.
Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины.
Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины. В том случае, когда можно найти несколько несмещенных оценок, лучшей из них считается та, которая имеет наименьшую дисперсию. Чем меньше дисперсия оценки, тем более эффективной считают эту оценку.
Для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ случайной погрешности результата измерения могут использоваться:
предельная погрешность;
интервальная оценка;
числовые характеристики закона распределения.
Выбор конкретной оценки определяется необходимой полнотой сведений о погрешности, назначением измерений и характером использования их результатов. Комплексы оценок показателей точности установлены соответствующими нормативными документами (стандартами, методическими указаниями, инструкциями).
Предельная погрешность Δm – погрешность, больше которой в данном измерительном эксперименте не может появиться. Теоретически такая оценка погрешности правомерна только для распределений, границы которых четко выражены и существует такое значение ± Δm, которое ограничивает возможные значения случайных погрешностей с обеих сторон от центра распределения (например, равномерное).
На практике такая оценка есть указание наибольшей погрешности, которая может встретиться при многократных измерениях одной и той же величины.
Недостатком такой оценки является то, что она не содержит информации о характере закона распределения случайных погрешностей. При арифметическом суммировании предельных погрешностей получаемая сумма может значительно превышать действительные погрешности.
Более универсальными и информативными являются интервальные оценки. Площадь под кривой плотности распределения можно разделить вертикальными линиями на части. Абсциссы таких линий называются квантилями.
Квантильная оценка погрешности представляется интервалом от –Δх(Р) до +Δх(Р), на котором с заданной вероятностью Р встречаются Р∙100 % всех возможных значений случайной погрешности. Интервал с границами ±Δх(Р) называется доверительным интервалом случайной погрешности, а соответствующая ему вероятность – доверительной вероятностью. Принято границы доверительного интервала указывать симметричными относительно результата измерения.
Так как квантили, ограничивающие доверительный интервал погрешности могут быть выбраны различными, то при оценивании случайной погрешности необходимо одновременно указывать значение принятой доверительной вероятности (например, ±0,З В при Р = 0,95).
Доверительные границы случайной погрешности Δх(Р), соответствующие доверительной вероятности Р, находят по формуле
,
где t – коэффициент, зависящий от Р и формы закона распределения.
При нормальном распределении погрешностей, принято считать случайную погрешность с границами ±3σ предельной (максимально возможной) погрешностью. При этом доверительная вероятность составляет Р = 0,997. Погрешности, выходящие за эти границы, классифицируют как грубые или промахи.
При технических измерениях доверительная вероятность принимается равной 0,95. Лишь для особо точных и ответственных измерений (важных, например, для безопасности и здоровья людей) допускается применять более высокую доверительную вероятность.
Числовые характеристики вероятностных распределений тесно связаны с моментами распределения. Как правило, применяют числовые характеристики двух видов: характеристики центра распределения и характеристики рассеивания случайной величины.
В качестве характеристики центра распределения могут быть приняты:
– медиана распределения Ме (т.е. такая точка на оси х, слева и справа от которой площади под кривой плотности распределения равны между собой и составляют Р1 = Р2 = 0,5).
– центр тяжести распределения, т.е. как математическое ожидание случайной величины;
– мода распределения Мо, т.е. абсцисса, соответствующая максимуму плотности распределения случайной величины. Используется, как правило, при асимметричной кривой плотности распределения вероятностей. Распределения с одним максимумом называются одномодальными, с двумя – двумодальными и т. д.
Характеристикой рассеивания случайной величины является дисперсия.
Сравнительно точное экспериментальное определение третьего момента – асимметрии – требует не менее 80 независимых измерений, четвертого – эксцесса – не менее 200. Дальнейшее увеличение порядка моментов распределения сопровождается таким же темпом увеличения объема необходимой измерительной информации. Поэтому в практике используют в основном моменты первого и второго порядков.