Основные уравнения

1. Электрическое поле, его характеристики

1. Закон сохранения электрического заряда:

,

где  алгебраическая сумма зарядов, входящих в изолированную систему; N – число зарядов.

2. Закон Кулона. Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами и модуль этой силы F:

; ,

где – радиус-вектор, соединяющий заряды; – электрическая постоянная, ,  – диэлектрическая проницаемость среды, в которой расположены заряды q₁ , q₂.

Здесь коэффициент:

.

3. Характеристики электрического поля:

напряженность ; потенциал ,

где – сила, действующая на точечный положительный заряд q, помещенный в данную точку поля, – потенциальная энергия точечного положительного заряда q, помещенного в данную точку поля при условии, что его потенциальная энергия в бесконечности принята равной нулю.

3. Напряженность , модуль вектора напряженности и потенциал  поля точечного заряда q:

; ,

где – радиус-вектор, проведенный из точки, в которой расположен заряд q, до интересующей нас точки.

3. Напряженность и потенциал  электрического поля, создаваемого заряженной сферической поверхностью радиусом , несущей заряд , на расстоянии от центра сферы:

 внутри сферы

; ;

 на поверхности сферы

; ;

 вне сферы

; .

3. Распределение зарядов. Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру и считать, что они “размазаны” определенным образом в пространстве. Другими словами, удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением. При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности заряда – объемной , поверхностной , линейной :

; ; ,

где – заряд, заключенный в объеме , на поверхности , на длине .

3. Напряженность электрического поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии от его оси:

,

где – линейная плотность заряда.

3. Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью:

,

где  – поверхностная плотность заряда.

3. Поток Ф_Е вектора напряженности электрического поля:

 через плоскую поверхность, помещенную в однородное поле,

,

 через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,

,

где – вектор площади, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением единичного вектора нормали к элементу поверхности;  – угол между вектором напряженности и нормалью к элементу поверхности (рис. 1).

3. Теорема Остроградского-Гаусса. Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды , , …, :

,

где – алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности; N – число зарядов.

3. Cвязь между напряженностью и потенциалом:

или ,

где – единичные векторы координатных осей (орты осей ).

Знак минус показывает, что вектор направлен в сторону убывания потенциала.

В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается:

; ,

где – проекция вектора на направление радиуса-вектора .

В случае однородного поля:

; ,

где – разность потенциалов двух точек поля вдоль линии напряженности; d – расстояние между этими точками.

3. Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей:

; ,

где – напряженность результирующего поля, созданного несколькими точечными зарядами, равная векторной сумме напряженностей складываемых полей;

 – потенциал поля, созданного системой N точечных зарядов, равный алгебраической сумме потенциалов, создаваемых отдельными точечными зарядами, причем потенциал от положительного заряда – положителен, от отрицательного заряда – отрицателен.

3. Сила, действующая на точечный заряд q помещенный в электрическое поле (рис. 2):

.

3. Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал , в другую, имеющую потенциал :

или .

3. Энергия взаимодействия системы точечных зарядов:

,

где – потенциал, создаваемый в той точке, в которой находится заряд q_i , всеми зарядами, кроме i-го.