5 Використання прогнозуючих фізичних моделей при керуванні апаратами періодичної дії

5.1 Основні принципи

Прогнозуюча фізична модель (ПФМ) являє собою пристрій, який розташовують всередині (вбудована ПФМ) або поза апаратом (виносна ПФМ), в який неперервно направляють невелику частину продукту, що відбирається з реакційної зони апарата. При цьому в ПФМ за рахунок інтенсифікації процесу створюється режим більш інтенсивної зміни деякої змінної y, яку будемо називати далі змінною випередження. З огляду на невеликий об’єм ПФМ, задача інтенсифікації процесу в моделі звичайно не викликає ускладнення і може бути вирішена за рахунок збільшення питомої поверхні теплообміну, швидкості циркуляції чи іншими методами.

Одна з можливих траєкторій зміни змінної випередження на виході ПФМ і в апараті показана на рис.5.1. Точка 1 відповідає розділенню реакційного продукту. За умови лінійної зміни змінної випередження в моделі в часі при переміщенні продукту по довжині моделі до точки виміру 2 через час величина стане рівною і більшою (меншою) змінного випередження в апараті y, створюючи ефект випередження . Час необхідний для інтенсифікації процесу і переміщення реакційного продукту в ПФМ. При подальшій зміні y і умові подібності процесів в апараті і моделі, відповідний стан в АПД буде досягнутий через час випередження . Тому аналіз стану робочого процесу в ПФМ у точці 2 дозволяє виробити такий керуючий вплив, щоб одержати потрібний ефект в апараті через час . По класифікації В. Г. Лапи у цьому випадку розв’язується задача попередження, що відноситься разом із задачею прогнозування до задач передбачення.

Ефективність використання ПФМ для керування циклічними технологічними процесами насамперед залежить від правильності вибору змінної випередження. Використовуємо для цієї мети загальне рівняння для фази багатофазного елемента чи процесу апарата хімічної технології Дамкелера:

, (5.1)

y

y_a(τ) y_MK(τ)

A

y_кр(τ)

2

3

y_M(τ)

1

y_вип=y_кр-y_a

τ₁τ₂ τ₃

τ_y τ_вип τ

Рисунок 5.1 – Траєкторія зміни змінної випередження на виході прогнозуючої фізичної моделі і в апараті

де - об’єм фази елемента процесу чи апарата, м³; Г – узагальнена щільність потоку, од. кількості/м³ ; v – лінійна швидкість, м/с; δ – провідність потоку, ;V – об’єм елемента процесу чи апарата, м³; ω – міжфазова поверхня передачі на одиницю об'єму, м²/м³; ε – узагальнений коефіцієнт переносу, м/с; - джерело фази, од. кількості/

(м³ • с).

Як видно з рівняння (5.1) значення нестаціонарної чи локальної складової (часткова похідна узагальненої щільності за часом) визначається сумою чотирьох складових узагальненого потоку: конвективної, дифузної, міжфазної і зв'язаної з джерелами.

Для елемента періодичного процесу без підживлення і тому з досить малим значенням конвективної складової у випадку відсутності джерел одержимо

(5.2)

При розв’язку задач керування, розглядаючи узагальнену щільність Г як керовану перемінну х і нехтуючи її просторовим розподілом, рівняння (5.2) можна записати у вигляді,

(5.3)

де y - рушійна сила процесу, позначена у рівнянні (5.2); C – вектор параметрів моделі.

Рівняння (5.3) показує, що для реалізації ПФМ найбільше доцільно використовувати рушійну силу в якості змінної випередження. Динамічна частина (10) математичної моделі АПД із введенням змінної випередження може бути представлена системою рівнянь у формі Коші:

Керований

пристрій(КП)

Об’єкт керування (ОК)

ПФМ

u x_a

y_a y_M

x_M

Рисунок 5.2 – Структурна схема системи оптимального керування зі зворотнім зв’язком і прогнозуючою фізичною моделлю

Більшість задач оптимізації при розробці систем керування АПД зводиться до знаходження функції керування при , яка забезпечує максимум або мінімум функціонала (3.1), тобто до розв’язку варіаційної задачі. В залежності характеру обмежень і виду детермінованої моделі така задача може бути розв’язана одним з розглянутих у розд. 4. аналітичних методів. У тих випадках, коли вектор збурень не відомий на всьому інтервалі , і використовується алгоритм аналітичного керування по С-моделі зі зворотним зв'язком, точність коректування траєкторії руху системи в кінцевий стан при відхиленні реальної траєкторії від розрахункової може бути істотно підвищена за рахунок зменшення впливу запізнювання при реалізації керуючих впливів із застосуванням ПФМ. Структурна схема такої системи показана на рис.5.2. У цьому випадку при проводять перерахунок для нових краєвих умов і , в яких - поточне значення вектора керованої змінної в моделі; час випередження моделі.

Найбільш ефективне використання ПФМ у системах керування АПД по обмеженнях. Як доведено, задача мінімізації чи максимізації функціонала (3.1) для довільного виду підінтегральної функції може бути зведена до задачі про швидкодію, тобто до мінімізації часу переходу з початкового у кінцевий стан.

У тих випадках, коли

(5.4)

і верхня межа множини Y обумовлена параметричними обмеженнями, що накладаються на значення рушійної сили процесу, перевищення яких зв'язане з неприпустимими якісними змінами процесу, система керування АПД по обмеженнях може бути побудована з використанням ПФМ, які працюють у режимі, коли змінна приймає значення, що відповідають її критичним значенням. Прикладом таких параметричних обмежень, що накладаються на значення рушійної сили, є перенасичення, яке викликає вторинне кристалоутворення, при кристалізації цукру або надлишкове вуглеводневе харчування при недостачі кисню, що викликає процеси бродіння замість процесів нагромадження біомаси.

На рис. 38 показані можливі траєкторії змінної випередження в апараті , моделі і її граничних (критичних) значень в апараті . Тут і далі змінні стану і випередження в апараті будемо позначати відповідно , в моделі - . Зокрема, що рідко зустрічається може не

залежати від часу. Як видно з рисунка, при реалізації зазначених керувань інтенсивна зміна змінної y в моделі дозволяє через якийсь час досягти її граничних значень (точка А) і далі вести процес при значеннях змінної випередження в ПФМ рівних критичним . При цьому значення з деякою помилкою будуть відслідковувати траєкторію і, отже, . Помилка відстеження траєкторії викликає відхилення траєкторії від оптимальної, однак наближення до границі збільшує небезпеку виникнення в АПД критичних режимів при випадкових впливах.

u x_a

y_a y_M

x_M

КП

ОК

ПФМ

Рисунок 5.3 – Структурна схема системи керування по

обмеженнях з прогнозуючою фізичною моделлю

Алгоритм керування по обмеженнях з використанням ПФМ найбільше просто реалізується за допомогою нелінійності релейного типу (рис. 5.3):

;

, (5.5)

де - модуль диференціального сигналу від вихідної змінної в апараті і на виході ПФМ; - похідна змінної випередження в апараті за часом.

Як вимірювальний пристрій, що входить до складу УУ тут може бути використаний диференціальний індикатор з релейним виходом. Якщо , то сигнал мало відрізняється від сигналу . При досягненні змінною випередження критичних значень відбувається різка зміна диференціального сигналу в результаті якісних змін стану продукту в ПФМ. Так, при випередженні процесу кристалізації цукру за рахунок більших значень перенасичення в ПФМ, ніж в апараті і досягненні критичного перенасичення на виході ПФМ починається процес вторинного кристалоутворення при відсутності такого в апараті. Для одержання в цьому випадку необхідного сигналу використовується фотоелектричний диференціальний давач.

Алгоритм керування (5.5) передбачає при досягненні критичних значень змінної випередження в ПФМ перехід на режим з постійним значенням . Однак у залежності від характеру траєкторії це може бути і режим зростання чи спадання з невеликою швидкістю. При відновленні відновлюється максимальне значення швидкості зміни змінної в апараті.

ПФМ, що працюють в описаному режимі, можуть бути використані і для формування логічних умов переходу від однієї операції циклу АПД до іншої. Крім того, застосування ПФМ у комплекті з адаптивними математичними моделями дає можливість визначити функцію . У той же час система керування, побудована з використанням ПФМ для відстеження , є єдино можливим варіантом системи оптимального керування АПД для випадку, коли функція невідома.

Адекватність ПФМ об'єкту попереджуючого моделювання забезпечується використанням при розрахунку ПФМ значень визначальних критеріїв подібності, характерних для процесу в апараті.