§3. Пределы и их свойства

Обозначение. – это последовательность .

Определение. называется пределом последовательности , если .

Обозначение. Предел последовательности обозначается или просто .

Утверждение. У последовательности не может быть двух пределов. Доказательство: Пусть у данной последовательности нашлось два предела . Тогда, по определению, . Возьмем . Тогда Но . Противоречие. Утверждение доказано.

Утверждение. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Доказательство: Пусть последовательность , а предел данной последовательности . Возьмем . По определению, , а значит, , что и требовалось. Утверждение доказано.

Теорема. Пусть и . Тогда у нее есть предел. Доказательство: Рассмотрим множество . По условию, у него есть верхняя грань. Тогда, по аксиоме верхней грани, у него есть супремум. Очевидно, что он подходит в качестве предела . Теорема доказана.

Следствие. Пусть и . Тогда у нее есть предел. Доказательство: Рассмотрим . Из предыдущей теоремы следует, что у есть предел. Тогда и у есть предел. Доказано.

Теорема. Пусть . Тогда . Доказательство: Пусть . Тогда рассмотрим . По определению, . Но . Тогда . Противоречие. Теорема доказана.

Замечание. Если тогда не обязательно .

Теорема(о двух полицейских). Пусть и . Тогда у существует предел и он равен . Доказательство: Докажем, что – предел . Для данного в качестве выберем максимальное из и . Тогда , а значит, и . Теорема доказана.

§4. Арифметические свойства пределов

Теорема. Пусть . Тогда

1. 

2. 

3. 

4. Пусть . Тогда

5. Пусть . Тогда . Доказательство:

1. Фиксируем . Очевидно, что , и . Тогда подходит, так как . Что и требовалось.

2. 1). . Это очевидно. 2). . Фиксируем . Тогда, домножая обе части на получаем: , что и требовалось.

3. Фиксируем . Заметим, что . Тогда . Последовательность ограничена. Тогда пусть . Из условия следует, что . Тогда при . Что и требовалось.

4. Будем считать, что (иначе домножим все на -1, тогда тоже домножится на -1(II)). Фиксируем . Заметим, что ,то есть . А ещё . Тогда для . Что и требовалось.

Заметим, что из III и IV следует, что . Что и требовалось.

§5.Верхний и нижний пределы. Фундаментальные последовательности

Замечание. Будем считать последовательности из этого параграфа ограниченными, если не сказано обратного.

Определение. Пусть — последовательность вещественных чисел. Обозначим ; . Тогда нижним пределом назовем , верхним пределом — .

Обозначение. — нижний предел; — верхний предел.

Замечание 1. Множества и ограничены, а потому и .

Замечание 2. ; . Доказательство: Это верно, так как и . Значит, и .

Замечание 3. . Доказательство: Это верно, так как . Искомое верно по предельно переходному неравенству.

Теорема. Пусть . Тогда . Доказательство: Докажем, что . Заметим, что . Тогда (предельно-переходное неравенство), то есть . Пусть . . Тогда — нижняя грань множества . Значит, . Противоречие. Аналогично доказывается для верхнего предела.

Теорема. Если , то . Доказательство: . Искомое следует из выше сказанного по теореме о двух полицейских.

Замечание. Тогда имеет место Критерий(сходимости последовательности). У последовательности существует предел тогда и только тогда, когда её верхний предел равен нижнему.

Определение. Последовательность (не обязательно ограниченная) называется фундаментальной, если .

Замечание. Любая фундаментальная последовательность является ограниченной.

Теорема. Последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда она фундаментальна. Доказательство: 1 часть. Если последовательность фундаментальна, тогда у нее есть предел. Заметим, что . Действительно, и , а также . Тогда . Тогда — система вложенных отрезков. Тогда у всех этих отрезков есть общая точка, притом очевидно, что единственная. Заметим, что в качестве этой точки подходят две точки: и . Тогда, так как такая точка единственна, . Значит, искомое следует из вышесказанного по только что доказанному критерию. 2 часть. Если у последовательности есть предел, то она фундаментальна. Пусть . Фиксируем . Тогда . Тогда . Доказано.