§1. Топология прямой

дополнение множества А. – множество индексов. окрестность А ⋃

Определение 1. Множество А называется открытым, если

Определение 2. Множество А называется замкнутым, если его дополнение открыто.

Свойства:

1. открытые множества. Тогда их объединение (всех), множество , открыто. Доказательство: Рассмотрим , элемент . Тогда . открыто. Тогда т.к. . Т.к. , то , ч.т.д.

2. открытые множества. Тогда их пересечение (всех), множество открыто. Доказательство: Рассмотрим , элемент В. Тогда . откытое множество. Тогда т.к. . Пусть , он существует т.к. множеств конечное число и положителен, т.к. . Тогда . Тогда , ч.т.д. Замечание. Это свойство не верно для бесконечного числа множеств, например . Тогда пересечение этих, очевидно открытых, множеств: , не является открытым множеством.

Определение 3. называется граничной точкой множества , множество всех таких точек А.

Замечание. Очевидно, что , т.к.

Теорема. открыто Доказательство:

• (⇒) Пусть и , ?!

• (⇐) Пусть не открытое множество. Тогда . Но . Тогда по определению граничная точка . Тогда (?!).

Следствие. замкнуто . Доказательство: замкнуто открыто

Определение 4. внутренняя точка множества , если . Множество всех таких точек для этого множества обозначается . Очевидно, что .

Определение 5. Замыканием множества А называется множество , обозначаемое

Утверждение. открытое, более того, если открытое и , то . Доказательство: Заметим, что . Пусть и . ⇒ . Тогда не открыто (?!). Пусть и . Но и (?!).

Следствие. замкнутое, более того, если замкнутое и , то . Доказательство: 1) Заметим, что Т.к. открытое по доказанному, то замкнутое по определению. 2)Раз замкнутое, то его дополнение открытое. Тогда по п.1) и доказанному утверждению: , что и требовалось доказать.

§2. Супремум и инфимум

Определение 1. – верхняя грань множества если .

Определение 2. – нижняя грань множества если .

Определение 3. Верхняя грань множества называется супремумом множества , если – верхней грани множества .

Обозначение. Супремум множества обозначается .

Определение 4. Нижняя грань множества называется инфимумом множества , если – нижней грани множества .

Обозначение. Инфимум множества обозначается .

Аксиома(верхней грани). Если у множества существует верхняя грань, то существует и супремум.

Теорема. Если у множества существует нижняя грань, то существует и инфимум. Доказательство: Рассмотрим множество , состоящее из элементов, противоположных соответствующим элементам множества . Заметим, что у этого множества существует верхняя грань, противоположная верхней грани множества . Тогда по аксиоме верхней грани у него есть супремум. Очевидно, что число, противоположное этому супремуму будет являться инфинумом множества . Теорема доказана.

Замечание. , .

Теорема(Кантора о вложенных отрезках). Пусть – система вложенных отрезков, то есть . Тогда . Доказательство: Рассмотрим множество . Тогда подходит. Действительно, . Первое неравенство верно потому, что – это верхняя грань , а второе потому, что – это наименьшая из верхних граней и – это верхняя грань . Теорема доказана.