3.2 Стійкість систем автоматичного регулювання

Будь-яка автоматична система регулювання призначено забезпечити підтримка регульованого параметра в певних заданих межах. Цьому перешкоджають різні впливи, що обурюють, діють на об'єкт регулювання. Найбільш характерним збурюванням для більшості технологічних об'єктів є зміна навантаження об'єкта. Якщо САР після впливу, що обурює, вертається в стан рівноваги, то така система є працездатною або стійкою. У стійкій САР перехідний процес може бути коливальним загасаючим. Якщо ж при стрибкоподібнім збурюванні виникаючі в системі коливання будуть наростати, то така САР буде нестійка.

Стійкість САР залежить від динамічних властивостей елементів, що входять у систему. Знаючи диференціальне рівняння, що описує динамічні властивості системи, можна визначити, чи буде дана система стійка.

Про стійкість системи можна судити за критеріями стійкості. Розглянемо критерій стійкості Рауса - Гурвіца, який був сформульований у вигляді нерівностей Раусом в 1877г. і Гурвіцом в 1895 г. Умови Рауса й Гурвіца еквівалентні.

Сутність критерію полягає в наступному - автоматична система є стійкої, якщо визначник Гурвіца, складений з коефіцієнтів характеристичного рівняння системи і його діагональні мінори позитивні.

Характеристичне рівняння системи має вигляд

Для визначення визначника Гурвіца складається матриця, у якій спочатку по діагоналі ліворуч праворуч виписуються коефіцієнти характеристичного рівняння, починаючи з і далі в порядку зростання індексу до коефіцієнта включно. Рядка вправо від діагоналі заповнюються коефіцієнтами в порядку убування індексу. При цьому коефіцієнти з негативними індексами заміняються нулями. У рядках ліворуч від діагоналі проставляються коефіцієнти в порядку зростання індексу

а1 а3 a5 a7 0
a0 а2 а4 а6 a8
0 а1 а3 а5 а7	> 0.
0 а0 а2 а4 а6
0 0 а1 а 3 а 5

До недоліків алгебраїчних критеріїв можна віднести великий обсяг обчислювальних робіт, тому критерій Рауса - Гурвіца застосовують при визначенні стійкості простих систем при невисокому порядку диференціального рівняння.

До графічних критеріїв стійкості ставиться критерій Михайлова- Найквиста. Критерій стійкості Михайлова дозволяє оцінити стійкість замкненої системи по характеристичній кривій (годографу Михайлова).

Критерій Михайлова формулюється в такий спосіб: для стійкості системи в замкненому стані необхідно й досить, щоб вектор D(p), що описує своїм кінцем криву Михайлова при зміні частоти від 0 до , почавши свій рух з позитивної дійсної осі й обертаючись проти годинникової стрілки, послідовно проходячи “n” квадрантів, ніде не звертаючись у нуль, де “n” - порядок системи.

На рисунке 3.6а показані криві Михайлова для стійких систем, порядок характеристичних рівнянь яких n=1,3,5. При n=3 вектор, D(j() повертаючись навколо початку координат проти годинникової стрілки при зростанні частоти, послідовно проходить три квадранти I, II і III. В III квадранті модуль вектора D(j() стає нескінченно більшим. При n=5 вектор D(j) проходить I, II, III, IY і знову I квадранти. При цьому вектор D(j() ніде не звертається в нуль.

Якщо умови, сформульовані в критерії, порушуються, то система стає нестійкою. Ознаки нестійкості: крива Михайлова починається не на позитивній дійсній осі (рисунок 3.6, б, n=I), порушується порядок проходження квадрантів характеристичним вектором (годограф 2 – рисунок 3.6, б).

Критерій Михайлова дозволяє оцінити стійкість системи при безпосередньому використанні характеристичного рівняння замкненої системи. Разом з тим, керуючись положеннями критерію Михайлова, можна оцінити стійкість замкненої системи по амплітудно-фазовій характеристиці розімкнутої системи. Для цього випадку використовується критерій Найквиста - Михайлова. Якщо розімкнута система стійка або перебуває на границі стійкості, то для стійкості системи в замкненому стані необхідно й досить, щоб амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої системи при зміні частоти від - до + не охоплювала крапку (-1; j0) у позитивному напрямку. Позитивним напрямком називається перетинання відрізка дійсної осі (-1; - ( ) зверху вниз при русі в напрямку зростання частоти.

а) для стійких систем; б) для нестійких систем

Рисунок 3.6 - Крива Михайлова

Стійкість є необхідною умовою нормального функціонування системи автоматичного регулювання. Стійкість повинна мати місце, коли параметри системи в процесі експлуатації змінюються. Це можливо якщо система має запас стійкості.

Тому що стійкість замкненої системи оцінюється критерієм Найквіста по розташуванню амплітудно-фазової характеристики розімкнутої системи щодо критичної крапки, то в якості оцінки запасу стійкості можна прийняти відстань між годографом W і критичною крапкою (-I; j0). Але положення годографа на комплексній площині для кожного значення частоти характеризується фазою й модулем. Тому вводять поняття запасу стійкості по фазі й модулю.

Запас стійкості по фазі характеризує видалення амплітудно-фазової характеристики по дузі окружності одиничного радіуса від критичної крапки й визначається кутом між негативним напрямком дійсної осі й променем, проведеним через початок координат і крапку перетинання годографа W з окружністю одиничного радіуса. Система з характеристикою I має менший запас стійкості по фазі ₁ у порівнянні із системою, що володіє характеристикою 2 і запасом стійкості по фазі ₂. (рисунок 3.7,а)

Запас стійкості по модулю характеризує видалення амплітудно-фазової характеристики від критичної крапки в напрямку дійсної осі. Величина і є заходом оцінки запасу стійкості по модулю. Найбільший запас стійкості по модулю відповідає величині ( рисунок 3.7, б).

а) запас стійкості по фазі; б) запас стійкості по модулю

Рисунок 3.7 – Запас стійкості автоматичних систем