33. Гидростатика и аэростатика

Начальный уровень:

А1. Определите высоту водонапорной башни, если манометр, установлен­ный у основания, показывает давление р = 50 кПа.

А2. В подводной части судна образовалось отверстие, площадь которого S = 5,0 см². Отверстие находится ниже уровня воды на h = 3,0 м. Определите силу, с которой давит вода на пробку, которой заткнуто от­верстие.

А3. Прямоугольный сосуд вместимостью 2 л наполови­ну наполнен водой, а наполовину керосином, а) Ка­ково давление жидкостей на дно сосуда? б) Чему равен вес жидкостей в сосуде? Дно сосуда имеет форму квадрата со стороной 10 см.

А4(Г10.50). Почему быстролетящая пуля пробивает в пустом пластмассовом стакане лишь два маленьких отверстия, а ста­кан, наполненный водой, разбивается при попадании в него пули вдребезги.

А 5(ГГК6.1). В три сосуда, имеющих одинаковую площадь дна S (см. рисунок), наливают одинаковое количество воды. Сравните уровни воды в сосудах. Сравните силы F1 F2, F3 давления на дно каждого из сосудов (друг с другом и с весом Р налитой воды).

А6. Аквариум наполнен доверху водой. С какой средней силой давит вода на стенку аквариума длиной а = 50 см и высотой h= 30 см?

А7. Железобетонная плита размером 3,5x1,5x0,20 м полностью погружена в воду. Вычислите архимедову силу, действующую на плиту.

А8. Пробирку поместили в мензурку с водой. Уровень воды при этом по­высился от деления 100 до 120 см³. Сколько весит пробирка, плаваю­щая в воде?

А9. Какую силу, надо приложить, чтобы поднять под водой камень мас­сой т = 30 кг, объем которого V = 0,012 м³?

А10(Г10.9). Одна из бутылок наполнена водой, другая — ртутью. Утонет ли бутылка с водой, если ее опустить в воду? Утонет ли бутылка с ртутью, если ее опустить в ртуть?

А11(Г10.13). В сосуд с вертикальными стенками и площадью дни S налита жидкость плотностью ρ. На сколько изменится уровень жидкости в сосуде, если в него опустить тело произвольной формы массой т, которое не тонет?

А12(Г10.16). Деревянный кубик ле­жит на дне сосуда. Всплывет ли он, если в сосуд налить воду (вода не проникает под кубик)?

А13(Г10.22). Алюминиевый и железный сплошные шары уравно­вешены на рычаге. Нарушится ли равновесие, если шары по­грузить в воду? Рассмотреть два случая: а) шары одинаковой массы; б) шары одинакового объема.

А14(422Т). На чашках равноплечих весов стоят два одинаковых стакана, до края наполненные водой. В одном стакане плавает деревянный брусок. В каком положении находятся весы?

А15(Г10.28). На крюке динамометра висит ведерко. Изменится ли показание динамометра, если ведерко наполнить водой и по­грузить в воду?

А16(Г10.23). Вес куска железа в воде Р = 1,67 Н. Найти его объ­ем. Плотность железа ρ_ж = 7,8 г/см³.

А17(Г10.24). Вес тела в воде в три раза меньше, чем в воздухе. Какова плотность материала тела?

А20(ГГК6.20). Когда однородное тело взвешивают в воздухе, показание динамометра Р1 = 8,4 Н, а когда тело взвешивают в воде, Р₂ = 5 Н. Чему равна плотность тела ρ?

А21. Плот состоит из п = 12 сухих еловых брусьев. Длина каждого бруса а = 4,0 м, ширина б = 30 см и толщина с = 25 см. Можно ли на этом плоту переправить через реку автомашину весом Р = 10 кН? Плот­ность дерева ρ_д = 600 кг/м³.

А22. Масса снаряжения воздушного шара (оболочки, сетки, корзины) со­ставляет т = 450 кг. Объем шара V = 1600 м³. Вычислите, какой подъемной силой будет обладать этот шар при наполнении его светильным газом. (Плотность светильного газа ρ_г = 0,40 кг/м³.)

А23. Прямоугольная льдина длиной а = 52 м и шириной б = 40 м плавает в море. Высота льдины, выступающей над поверхностью воды, равна h= 1,0 м. Определите объем всей льдины.

А24(Г10.25). Брусок дерева плавает в воде. Как изменится глубина погружения бруска в воде, если на воду налить масло?

А25(Г10.26). Некоторое тело плавает на поверхности воды в за­крытом сосуде. Как изменится глубина погружения тела, если накачать воздух в сосуд?

А26(ГГК6.25). В озере на некоторой глубине плавает полый шар, полностью погруженный в воду. Можно ли считать, что шар находится в состоянии невесомости, поскольку его вес в воде «полностью исчез»? Будет ли ощущать невесомость чело­век, находящийся внутри шара?

А27(Г10.40). Две одинаковые по массе оболочки шара — одна из эластичной резины, а вторая из прорезиненной ткани — на­полнены одним и тем же количеством водорода и у Земли за­нимают равный объем. Какой шар поднимется выше и почему, если водород из шаров выходить не может?

А28(МГТУ7.2). Оценить массу атмосферы Земли, принимая радиус Земли R = 6400 км, атмосферное давление р = 10⁵ Па, ускорение свободного падения g =10 м/с² .

Средний уровень:

Б1(Г10.1). В полый куб с ребром а налита доверху жидкость плотностью ρ. Определить силы, действующие на грани куба.

Б2(ГГК6.4). Аквариум имеет форму куба со стороной а = 60 см. До какой высоты h надо налить в него воду, чтобы сила давле­ния на боковую стенку была в 6 раз меньше, чем на дно? Атмо­сферное давление не учитывайте.

Б3(Г10.2). Сосуд, имеющий форму усеченного конуса с пристав­ным дном, опущен в воду. Если в сосуд налить 200 г воды, то дно оторвется. Отпадет ли дно, если на него поставить гирю 200 г? налить 200 г масла? налить 200 г ртути?

Б4(Г10.8). В стакане плавает кусок льда. Изменится ли уровень воды, когда лед растает? Рассмот­реть дополнительно случаи: 1) когда во льду находился пузырек воздуха; 2) когда во льду находи­лась свинцовая пластинка.

Б5(Г10.10). Прямоугольная коробочка из жести массой m = 76 г с площадью дна S = 38 см² и высотой Н = 6 см плавает в воде. Определить высоту h надводной части коробочки.

Б6(Г10.19). Полый шар (внешний радиус d1 внутренний d2). вделанный из материала плотностью ρ1, плавает на поверх­ности жидкости плотностью ρ2. Какой должна быть плотность ρ вещества, которым следует заполнить внутреннюю полость шара, чтобы он находился в безразличном равновесии внутри жидкости?

Б7(Г10.20). Полый шар, отлитый из чугуна, плавает в воде, по­грузившись ровно наполовину. Найти объем V внутренней по­лости шара, если масса шара т = 5000 г, а плотность чугуна

7,8 г/см³.

Б8(Г10.27). Один конец нити закреплен на дне, а второй при­креплен к пробковому поплавку. При этом 0,75 всего объема поплавка погружено в воду. Определить силу натяжения F ни­ти, если масса поплавка равна 2 кг и плотность пробки 0,25 г/см³. Массой нити пренебречь.

Б9(Г10.29). Сосуд, предельно наполненный водой, висит на ди­намометре. Изменится ли показание динамометра, если в воду опустить гирю, подвешенную на нити, не касаясь дна?

Б10(Г10.34). На весах уравновешено тело, погруженное в жид­кость. Изменится ли показание весов при нагревании жид­кости вместе с погруженным в нее телом?

Б11(Г10.39). В сосуд с водой погружается открытый цилиндриче­ский стакан: один раз дном вверх, а другой — дном вниз, на одну и ту же глубину. В каком из этих случаев работа, кото­рую нужно совершить, чтобы погрузить стакан в воду, будет больше? Вода из сосуда не выливается и в стакан, погружен­ный дном вниз, не попадает.

Б12(Г10.46). Тело, имеющее массу т = 2 кг и объем V = 1000 см³, находится в озере на глубине h = 5м. Какая работа должна быть совершена при его подъеме на высоту Н = 5 м над по­верхностью воды? Равна ли совершенная при этом работа из­менению потенциальной энергии тела? Объясните результат.

Достаточный уровень:

В1(Г10.3). В сосуд с водой вставлена трубка, площадь поперечно­го сечения которой S = 2 см². В трубку налили 72 г масла (ρ_м = 900 кг/м³). Найти разность уровней масла и воды.

В2(Г10.5). В сообщающиеся сосуды диаметрами d1 и d2 налита вода. На сколько изменится уровень воды в сосудах, если по­ложить кусок дерева массой m в первый сосуд? во второй? Плотность воды ρ₀.

В3(Г10.11). Кастрюля емкостью 2 л доверху наполнена водой. В нее ставят тело объемом 0,5 л и массой 0,6 кг. Сколько воды вытечет из кастрюли?

В4(ГГК6.8*). В небольшом бассейне плавает лодка. Как изме­нится уровень воды в бассейне, если лежащий на дне лодки камень бросить в воду?

В5(ГГК6.9*). В небольшом бассейне плавает полузатопленная лодка, причем уровень воды в лодке совпадает с уровнем воды в бассейне. Из лодки зачерпнули ведро воды и вылили в бассейн. Где после этого выше уровень воды — в лодке или в бассейне? Как изменился уровень воды в бассейне?

В6(Г10.7). Льдина площадью попе­речного сечения S = 1 м² и высо­той h = 0,4 м плавает в воде. Ка­кую работу надо совершить, что­бы полностью погрузить льдину в воду?

В 7(Г10.14). В U-образной трубке сечением S налита жидкость плотностью ρ. На сколько поднимется уровень жидкости в правом колене трубки по отношению к первоначальному уров­ню, если в левое колено опустили тело массой т и плотностью ρ1 < ρ?

В8(Г10.21). На весах уравновешен сосуд с водой. Как изменится равновесие, если в воду целиком опустить подвешенный на нитке брусок размером 5x3x3 см³ так, чтобы он не касался дна? Какой груз и на какую чашку надо положить, чтобы сохранить равновесие?

В9(Г10.30). На рычажных весах уравновешены сосуд с водой и штатив с медной гирей массой т — 100 г (Рис.В9). Затем гиря, подвешенная на нити, опускается в воду. Как восстановить равновесие весов? Плотность меди ρ_м = 8,9 г/см⁸. Рис. В9

В10(Г10.38). Кусок пробки весит в воздухе 0,147 Н, кусок свинца 1,1074 Н. Если эти куски связать, а затем подвесить к чашке весов и опустить в керосин, то показание весов будет 0,588 Н.

Определить плотность пробки, учитывая, что плотность керо­сина 0,8 г/см⁸, а свинца 11,3 г/см³.

В 11(ГГК6.15). Пластмассовый брусок плавает на поверхности воды. Как изменится глубина погружения бруска в воду, если поверх воды налить слой масла, полностью покрываю­щий брусок?

В12(ГГК6.16). Тело находится на границе двух жидкостей с плотностями ρ1 и ρ2 (РисВ12). Вычислите действующую на него силу Архимеда.

В13(ГГК6.17*). Тело плотностью ρ плавает на границе раздела двух жидкостей (Рис.В12) с плотностями ρ1 и ρ2. Какая часть объема тела погружена в нижнюю жидкость?

Рис. В12

В14(ГГК6.18*). Доска толщиной 5 см плавает в воде, погру­зившись на 70%. Поверх воды разливается слой нефти тол­щиной 1 см. На сколько будет выступать доска над поверх­ностью нефти?

В15(ГГК6 .13). Воздушный шар объемом V = 300 м³ парит вблизи поверхности Земли. С шара сбросили балласт, и шар поднялся на высоту, где плотность воздуха вдвое меньше. Какова масса т бал­ласта, если объем шара при подъеме увеличился в полтора раза? Температуру воздуха считайте равной 0 °С.

В16(ГГК6.21*). В лифте находится ведро с водой, в котором пла­вает мяч. Как изменится глубина погружения мяча, если лифт будет двигаться с ускорением а, направленным вверх? Вниз?

В17(ГГК6.29). Пробковый поплавок массой m, привязанный нитью к камню, находится на глубине h под водой. Какое ко­личество теплоты Q выделится после перерезания нити?

Высокий уровень:

Г 1(Г10.6). В колена U-образной трубки налиты вода и спирт, разделенные ртутью. Уровень ртути в обоих коленах одинаков. На высоте 24 см от уровня ртути колена соединены горизон­тальной трубкой с краном (Рис. Г1). Вначале кран закрыт. Определить высоту h2 столба спирта (ρ_с = 800 кг/м⁸), если вы­сота столба воды h1 = 32 см. Что будет, если открыть кран? При каком расположении трубки при открывании крана будет сохраняться равновесие?

Г2(Г10.15). На дне водоема устано­влена бетонная

Рис.Г1 конструкция гри­бовидной формы, размеры которой указаны на рис. 45. Глубина ре­ки Н. С какой силой давит кон­струкция на дно реки? Плотность бетона ρ, воды — ρ₀.

Г3(Г10.31). Тонкая однородная палочка шарнирно укреплена за верхний конец. Рис.Г2

Нижняя часть палочки погружена в воду, причем равновесие достигается тогда, когда палочка располо­жена наклонно к поверхности воды и в воде находится поло­вина палочки. Какова плотность материала, из которого сде­лана палочка?

Г4(Г10.32). Два шарика радиусами r1 и r2, сделанные из мате­риалов, плотности которых ρ1 и ρ2, соединены невесомым стержнем длиной L. Затем вся система помещена в жидкость плотностью ρ, причем ρ < ρ1 и ρ < ρ2. В какой точке стержня нужно его повесить, для того чтобы система находилась в равновесии при горизонтальном положении стержня?

Г 5(Г10.33). Из сосуда, заполненного водой, выходит труба радиу­сом r и высотой h (Рис. Г5). Труба закрыта круглой пластиной радиусом R и массой М, которую прижимает к трубе давление воды. С какой силой F нужно подействовать на пластину в точке А, для того чтобы она повернулась, открыв трубу? Сосуд заполнен водой до высоты Н. Толщина пластины пренебрежи­мо мала.

Г6(Г10.35). Сплошное однородное тело объемом V, плотность ма­териала которого ρ, плавает на границе между тяжелой жид­костью плотностью ρ1 и более легкой жидкостью плотностью ρ₂. Какая часть объема тела V1 будет находиться Рис.Г5

в тяжелой жидкости?

Г7(Г10.36). Кубик из дерева, имеющий сторону 10 см, плавает между маслом и водой, находясь ниже уровня масла на 2,5 см. Нижняя поверхность кубика на 2,5 см ниже поверх­ности раздела. Какова масса т кубика, если плотность масла 0,8 г/см³? Определить силы давления F1 и F2 на верхнюю и нижнюю грани кубика. Изменится ли глубина погружения кубика в воду при доливании масла?

Г8(Г10.37). Стальной кубик плотностью 7,8 г/см³ плавает в рту­ти (плотность 13,6 г/см³). На ртуть наливается вода так, что она покрывает кубик тонким слоем. Какова высота Н слоя во­ды? Длина ребра кубика а = 10 см. Определить давление р на нижнюю грань кубика.

Г9(Г10.47). В водоеме укреплена вертикальная труба с поршнем таким образом, что нижний ее конец погружен в воду. Пор­шень, лежавший вначале на поверхности воды, медленно под­нимают на высоту H = 15 м. Какую работу пришлось при этом совершить? Площадь поршня S = 1 дм², атмосферное давление р = 101 кПа. Весом поршня пренебречь.

Г10(ГГК6.31*). Перевернутая кастрюля массой m и радиусом R стоит на гладком резиновом коврике, плотно прилегая к нему краями. В дне кастрюли имеется круглое отверстие радиусом r, в которое плотно вставлена легкая вертикальная трубка. В ка­стрюлю через трубку наливают воду. При какой длине H столба воды в трубке вода начнет вытекать из-под кастрюли?

Г11(МГТУ7.11). В вертикально расположенном сосуде с сечениями S1, и S2 находятся два невесомых поршня (см. рис.). Поршни соединены тонкой нерастяжимой проволокой длиной L. Найти силу натяжения проволоки Т, если пространство между поршнями заполнено жидкостью с плотностью ρ. Концы сосуда открыты в атмосферу. Какой будет сила натяжения T1,, если нерастяжимую проволоку заменить податливой с коэффициентом упругости k ?

Рис.Г11 Рис.Г12 Рис.Г13 Рис.Г14 Рис.Г15

Г12(МГТУ7.17). В воде плавает в вертикальном положении труба (см. рис.). Высота выступающей части трубы h = 5 см . Внутрь трубы наливается масло плотностью ρ = 900 кг/м³ . Какой длины Н должна быть труба, для того чтобы ее можно было целиком заполнить маслом?

Плотность воды ρ_в = 1000 кг/м³.

Г13(МГТУ7.23). Стальной шар объемом V и массой т удерживается под водой от погружения на дно пружиной жесткостью к (см. рис.). Найти энергию W деформации пружины. Массой и объемом пружины пренебречь. Плотность воды равна ρ.

Г14(МГТУ7.24). Сплошные стальной и деревянный шарики, соединенные пружиной жесткостью к, плавают в воде (см. рис.). Определить энергию деформации пружины W и объем V погруженной в воду части деревянного шарика. Плотность дерева ρ_д, стали ρ_с, воды ρ (ρ_с > ρ > ρ_д). Объем стального шарика V_c, деревянного - Vд. Массой и объемом пружины пренебречь.

Г15(МГТУ7.25). Деревянный шар радиусом R и массой М удерживается под водой с помощью тонкой стальной цепи, лежащей на дне водоема и прикрепленной одним концом к шару (см. рис.). Найти длину цепи L между шаром и дном. Масса одного метра цепи равна т. Объемом цепи пренебречь. Плотность воды равна ρ.

Г16(МГТУ7.26). Верхний конец тонкой однородной палочки шарнирно закреплен, нижний ее конец погружен в воду (см. рис.). При равновесии под водой находится 1/5 часть длины палочки. Определить плотность ρ вещества палочки.

Рис.Г16 Рис.Г17 Рис.Д2 Рис.Д3

Г17(МГТУ7.27). Правый конец доски, наполовину погруженной в воду, опирается о шероховатый уступ А (см. рис.). Масса доски т. Определить силу реакции R_A в месте опирания доски.

Олимпиадные задачи:

Д1(Г10.17). Круглая дырка площадью S1 в дне сосуда прикрыта без усилия конической пробкой с площадью основания S2. При каком наибольшем значении плотности ρ материала пробки можно добиться ее всплытия, доливая воду в сосуд? Плотность воды ρ₀.

Д2(МГТУ7.3). U-образная трубка движется горизонтально с ускорением а (см. рис.). Определить разность уровней h между коленами трубки, если расстояние между коленами L. Радиус трубки R << L, капиллярными эффектами пренебречь.

Д3(МГТУ7.4). U-образная трубка вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω (см. рис.). Определить разность уровней h между коленами трубки, если расстояние между коленами L. Радиус трубки R<<L, капиллярными эффектами пренебречь.

Д4(МГТУ7.5). Сосуд с жидкостью движется горизонтально с ускорением а . Определить угол наклона а поверхности жидкости по отношению к горизонту.

Д5(МГТУ7.6). По наклонной плоскости, образующей угол α горизонтом, скользит аквариум в форме параллелепипеда. Коэффициент трения между аквариумом и плоскостью μ. Определить угол наклона β поверхности жидкости в аквариуме по отношению к горизонту.

Д6(МГТУ7.36). Стеклянный шарик массой т = 10 г, находящийся у поверхности глицерина, погружается на глубину h = 1 м . Найти изменение потенциальной энергии ∆W системы шарик-жидкость. Плотность глицерина ρ=1,6 10³ кг/м³ , плотность стекла ρ₂ = 2,4 10³ кг/м³ . Каким будет изменение потенциальной энергии ∆W1, если на глубину Н= 1 м погрузить деревянный шарик такой же массы? Плотность дерева (дуба) 800 кг/м³ .