26. Закон сохранения импульса

При абсолютно неупругом ударе тела после взаимодействия дви­жутся как одно целое; часть механической энергии превращается во внут­реннюю.

При абсолютно упругом ударе тела после взаимодействия пол­ностью восстанавливают свою форму; полная механическая энергия тел сохраняется.

В задачах данной главы скорости тел, если нет специальных оговорок, указаны относительно земли, а силы трения не учитываются.

Средний уровень:

Б1.(378Т) Небольшая лодка при­тягивается канатом к большому теплоходу. Почему теплоход не движется по направлению к лодке?

Б2.(379Т) Чтобы сойти на берег, лодочник направился от кормы лодки к ее носовой части. Почему при этом лодка отошла от берега?

Б3.(1К) Снаряд массой 20 кг, летящий горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в платформу с песком массой 10 т и застревает в песке. С какой скоростью стала двигаться платформа?

Б4.(347P) Снаряд массой m1 летящий со скоростью v_x парал­лельно рельсам, ударяет в неподвижную платформу с песком массой m2 и застревает в песке. С какой скоростью станет двигаться платформа?

Б5.(4К) Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железно­дорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с пес­ком массой 10 т и застревает в нем. Какая стала скорость ваго­на, если он двигался со скоростью 36 км/ч навстречу снаряду?

Б6.(385С) Тележка с песком катится со скоростью 1 м/с по горизонтальному пути без трения (Рис.Б6). Навстречу те­лежке летит шар массой 2 кг с горизонтальной скоростью 7 м/с. Шар после попадания в песок застревает в нем. В какую сторону и с какой скоростью покатится тележка после столкновения с шаром? Масса тележки 10 кг.

Б 7.(2К) Вагон массой 30 т, движущийся горизонтально со скоростью 1,5 м/с, автоматически на ходу сцепляется с неподвижным вагоном массой 20 т. С какой скоростью движется сцепка?

Б8.(351Р) Вагон массой 20 т, движущийся со скоростью 0,3 м/с, нагоняет вагон массой 30 т, движущийся со скоростью 0,2 м/с. Какова скорость вагонов после того, как сработает автосцепка?

Б9.(3К) С неподвижной лодки, масса которой вместе с человеком равна

Рис.Б6 255 кг, бросают на берег весло массой 5 кг с горизонтальной скоростью относительно земли 10 м/с. Какую скорость приобретает лодка?

Б10.(352Р) С лодки массой 200 кг, дви­жущейся со скоростью 1 м/с, прыгает мальчик массой 50 кг в горизонталь­ном направлении со скоростью 7 м/с. Какова скорость лодки после прыжка мальчика, если мальчик прыгает с кормы в сторону, противоположную движению лодки? с носа по ходу дви­жения?

Б11.(6К) Какую скорость относительно ракетницы приобретет ракета массой 600 г, если газы массой 15 г вылетают из нее со скоро­стью 800 м/с.

Б12.(5К) В проплывающую под мостиком лодку массой 150 кг опускают с мостика груз массой 50 кг. Какова будет после этого скорость лодки. Если ее начальная скорость 4 м/с? Сопротивлением воды можно пренебречь.

Б13.(348P) Два неупругих тела, массы которых 2 и 6 кг, движут­ся навстречу друг другу со скоростями 2 м/с каждое. Опре­делить модуль и направление скорости каждого из этих тел после удара.

Б14.(377C) Белка массой 0,5 кг сидит на абсолютно гладкой, обледенелой, горизонтальной, плоской крыше. Человек бро­сает белке камень массой 0,1 кг. Камень летит горизон­тально со скоростью 6 м/с. Белка хватает камень и удержи­вает его. Вычислите скорость белки, поймавшей камень.

Б15.(378C) Белка, о которой идет речь в задаче 377, хватает камень, моментально замечает, что это не орех, и бросает его обратно в горизонтальном направлении со скоростью 2 м/с относительно земли. Вычислите скорость белки в этом случае. Объясните, изменится ли ответ задачи, если белка задержит камень в лапках на несколько секунд, прежде чем бросить его обратно.

Б16.(379C) Мальчик массой 22 кг, бегущий со скоростью 2,5 м/с, вскакивает сзади на неподвижную и незакреплённую платформу массой 12 кг. Чему равна скорость платформы с мальчиком?

Б17.(384С) Два неупругих шара массами 6 кг и 4 кг движутся о скоростями 8 м/с и 3 м/с соответственно, направленны­ми вдоль одной прямой. С какой скоростью они будут двигаться после абсолютно неупругого соударения, если первый догоняет второй? Движутся навстречу друг другу?

Б18.(5.37Г) Во сколько раз уменьшится скорость атома гелия пос­ле центрального упругого столкновения с неподвижным ато­мом водорода, масса которого в четыре раза меньше массы атома гелия?

Б20.(382Т) Надуйте детский резиновый шар, не завя­зывая отверстие, выпустите из рук. Что произойдет при этом? Почему?

Б21.(383Т) Ракета движется по инерции в космиче­ском пространстве. На ее сопло надели изогнутую трубу выходным отверстием в сторону движения и включили двигатели. Изменилась ли скорость ракеты?

Б22.(385Т) Можно ли двигать парусную лодку, направляя на паруса поток воздуха из мощного вентилятора, находящегося на лодке? Что случится, если дуть мимо паруса?

Достаточный уровень:

В1. Граната, летевшая в горизонтальном направлении со скоростью 10 м/с, разорвалась на 2 осколка массами 1 кг и 1,5 кг. Ско­рость большего осколка осталась после взрыва горизонтальной и возросла до 25 м/с. Определите величину и направление скоро­сти меньшего осколка.

В2.(6К) От двухступенчатой ракеты массой 1000 кг в момент достижения скорости 171 м/с отделилась ее вторая ступень массой 400 кг, ско­рость которой при этом увеличилась до 185 м/с. Найти, с какой скоростью стала двигаться первая ступень ракеты. Скорости указаны относительно Земли.

В3. Ядро, летевшее горизонтально со скоростью 20 м/с, разорвалось на два осколка массами 5 кг и 10кг. Скорость меньшего осколка 90 м/с и направлена так же, как и скорость ядра до разрыва. Найдите скорость и направление движения большего осколка.

В4.(3.8Г) Снаряд вылетевший из орудия под некоторым углом к горизонту, в верхней точке своей параболической траектории разрывается на два осколка равной массы. Один осколок после взрыва возвращается к орудию по прежней траектории. Где упадет второй осколок? Упадут ли оба осколка на землю одно­временно? Сопротивление воздуха не учитывать.

В5.(2К) Охотник стреляет из ружья с движущейся лодки по направле­нию ее движения. Какую скорость имела лодка, если она оста­новилась после трех быстро следующих друг за другом выстре­лов? Масса лодки вместе с охотником 100 кг, масса заряда 20 г, средняя скорость дроби и пороховых газов 500 м/с.

В6.(387С) На краю покоящейся тележки массой М стоят два человека, масса каждого из которых равна т. Пренебрегая трением, найдите скорость тележки относительно земли по­сле того, как оба человека спрыгнут с нее с одной и той же горизонтальной скоростью v относительно те­лежки: а) одновременно; б) друг за другом. В ка­ком случае скорость тележки будет больше и во сколько раз?

В7.(3.18Г) Тележка, масса которой 120 кг, движется по рельсам без трения со скоростью 6 м/с. С тележки соскакивает человек массой 80 кг под углом 30° к направлению ее движения. Скорость тележки уменьшается при этом до 5 м/с. Какой была скорость человека во время прыжка относительно земли?

В8.(353P) С судна массой 750 т произведен выстрел из пушки в сторону, противоположную его движению, под углом 60° к горизонту. На сколько изменилась скорость судна, если сна­ряд массой 30 кг вылетел со скоростью 1 км/с относительно судна?

В9.(391С) Охотник стреляет с легкой надувной лодки. Какую скорость приобретает лодка в момент выстрела, если масса охотника с лодкой равна 70 кг, масса дроби 35 г и средняя начальная скорость дроби 320 м/с? Ствол ружья во время выстрела образует угол 60° к горизонту.

В10.(7К) Человек массой 60 кг переходит с носа на корму лодки. На какое расстояние переместится лодка длиной 3 м, если ее масса 120 кг?

В11.(8К) Человек массой 80 кг переходит с носа на корму в лодке длиной 5 м. Какова масса лодки, если она за время этого перехода пере­местилась в стоячей воде в обратном направлении на 2 м?

В 12.(349P) Масса автомата Калашникова 3,8 кг, масса пули 7,9 г, масса порохового заряда патрона 1,6 г, скорость вылета пули 715 м/с. Найти скорость, которую приобретает автомат вследствие отдачи, считая, что средняя скорость пороховых газов равна половине скорости пули.

В13.(398C) Средневековая пушка массой 200 кг устанавлива­ется у края плоской крыши высокой башни. Пушка выпу­скает ядро массой 5 кг горизонтально. Ядро опускается на расстоянии 300 м от основания башни. Пушка, колеса кото­рой вращаются без трения, тоже движется и падает на зем­лю (Рис.В12). На каком расстоянии от основания башни пушка упадет на землю? Почему размеры башни не входят в расчет?

В14.(392С) Стоящий на льду человек массой 60 кг ловит мяч массой 0,5 кг, который летит горизонтально со скоростью 20 м/с. На какое расстояние откатится человек с мячом по горизонтальной поверхности льда, если коэффициент тре­ния равен 0,05?

В15.(393С) На поверхности озера находится лодка. Она пер­пендикулярна к берегу и обращена к нему носом. Расстоя­ние между носом лодки и берегом равно 0,75 м. В началь­ный момент лодка неподвижна. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа лодки на корму. Причалит ли лодка к берегу за это время, если ее длина 2 м? Масса лод­ки 140 кг, масса человека 60 кг.

В16.(395C) На краю стола высотой h лежит маленький шарик массой m1. В него попадает пуля массой m2 движущаяся горизонтально со скоростью v, направленной в центр шари­ка. Пуля застревает в нем. На каком расстоянии от стола по горизонтали упадет шарик на землю?

Высокий уровень:

Г1. Лодка неподвижно стоит в озере. На корме и на носу лодки на расстоянии 5 м друг от друга сидят рыболовы. Масса лодки 150 кг, массы рыболовов 90 кг и 60 кг. Рыболовы меняются мес­тами. На сколько переместится при этом лодка? Сопротивлени­ем воды пренебречь.

Г2. Снаряд в верхней точке траектории на высоте 100 м разорвался на два осколка: 1 кг и 1,5 кг. Скорость снаряда в этой точке v₀ = 100 м/с. Скорость большего осколка v2 оказалась горизонталь­ной, совпадающей по направлению с v_о и равной 250 м/с. Опре­делить расстояние между точками падения обоих осколков. Со­противление воздуха не учитывать

Г3. С лодки выбирают канат, поданный на баркас. Расстояние между ними 55 м. Определить пути, пройденные лодкой и баркасом до их встречи. Масса лодки 300 кг, масса баркаса 1200 кг. Сопро­тивлением воды пренебречь.

Г4. Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высоте 19,6 м на две одинаковые части. Через 1 с после взрыва одна часть па­дает на землю под тем местом, где произошел взрыв. На каком расстоянии от места выстрела упадет вторая часть снаряда, если первая упала на расстоянии 1000 м? Силу сопротивления возду­ха при решении задачи не учитывать.

Г5. Снаряд, летящий по параболе, разорвался в верхней точке тра­ектории на три осколка одинаковой массы. Первый осколок продолжал движение по той же параболе и упал на расстоянии 1 км от орудия. Второй осколок двигался вертикально вниз и упал одновременно с первым. На каком расстоянии от орудия упал третий осколок?

Г6. Два рыбака ловят рыбу в озере, сидя в неподвижной лодке. На сколько сместится лодка, если рыбаки поменяются местами? Масса лодки 280 кг, масса одного рыбака 70 кг, масса второго — 140 кг, расстояние между рыбаками 5 м. Сопротивлением воды пренебречь.

Г7.(399C) Снаряд, выпущенный из пушки, установленной под углом 45° к горизонту на плоской горизонтальной равнине, разрывается в верхней точке своей траектории на два осколка одинаковой массы. Первый осколок падает прямо под точкой разрыва снаряда спустя 20 с после разрыва. На каком расстоянии упадет второй осколок, если разрыв про­изошел на высоте 2 км? Сопротивлением воздуха прене­бречь.

Г8.(400C) Снаряд, выпущенный под углом 45° к горизонту из пушки, установленной на плоской горизонтальной равнине, разрывается в верхней точке своей траектории на два осколка. Массы осколков равны. Первый осколок падает спустя 15 с после разрыва прямо под точкой разрыва. На каком расстоянии от пушки упадет второй осколок, если разрыв снаряда произошел через 15 с после выстрела? Со­противлением воздуха пренебречь.

Г9.(402C) Ракета, поднимающаяся вертикально вверх со ско­ростью 100 м/с, разрывается на три части. Две части по 0,5 кг каждая разлетаются горизонтально — одна на вос­ток, другая на запад. Чему равна скорость третьей части, масса которой равна 1 кг, а движется она вверх?

Г10.(390С) К свободному аэростату, масса которого М, привя­зана веревочная лестница, на которой находится человек массой т. Аэростат покоится относительно земли. В каком направлении и с какой скоростью будет двигаться аэро­стат, если человек начнет подниматься вверх по лестнице с постоянной скоростью относительно лестницы?

Г11.(394С) Артиллеристы стреляют так, чтобы ядро попало в неприятельский лагерь. В момент вылета ядра из пушки на него садится барон Мюнхгаузен, и поэтому ядро падает, не долетев до цели. Какую часть пути Мюнхгаузену придет­ся идти пешком, чтобы добраться до неприятельского лаге­ря? Принять, что барон имеет массу, в 5 раз большую, чем ядро. Посадку считать абсолютно неупругим ударом.

Г12.(397C) С высоты H падает шар. Когда он пролетал мимо окна, находящегося на высоте H/2, в него попала пуля, вы­летевшая из ружья в горизонтальном направлении. Пуля застряла в центре шара. С какой скоростью шар упадет на землю? Пуля имеет массу, в 10 раз меньшую, чем масса шара. Ее скорость в момент попадания в шар равна v.

Г13.(3.17Г) Три лодки одинаковой массой М идут в кильватер (друг за другом) с одинаковой скоростью v. Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю бросают со скоростью u относительно лодки грузы массой m. Найти скорости лодок после переброски грузов? Сопротивлением воды пренебречь.

Г 14.(7К) Снаряд вылетает из орудия со скоростью V₀ под углом α к гори­зонту. В верхней точке траектории снаряд разрывается на два равных осколка, причем скорости осколков непосредственно по­сле взрыва горизонтальны и лежат в плоскости траектории. Первый осколок упал на расстоянии s от орудия в направлении выстрела. Найти место падения второго осколка, если известно, что он упал дальше первого.

Г15.(8К) Снаряд летит по параболе и разрывается в верхней точке траек­тории на два равных осколка. Первый осколок упал вертикаль­но вниз, второй — на расстоянии s по горизонтали от места раз­рыва. Найти скорость снаряда перед разрывом, если известно, что взрыв произошел на высоте h и время падения первого ос­колка равно t₀.

Рис.Г16 Г16.(354P) Бильярдный шар 1, движущийся со скоростью 10 м/с,

ударил о покоящийся шар 2 такой же массы. После удара ша­ры разошлись так, как показано на Рис.Г16. Найти ско­рости шаров после удара.

Олимпиадные задачи:

Д1.(3.20Г) По наклонной плоскости, составляющей угол α с гори­зонтом, начинает соскальзывать без трения ящик с песком массой М. В тот момент, когда ящик прошел путь L, в него попало тело массой m, скорость которого направлена под уг­лом β к горизонту. Ящик при этом остановился. С какой скоростью u двигалось тело?

Д 2.(3.22Г) Сосуд с водой движется по наклонной плоскости с углом накло­на α так, что уровень воды устанавливается параллельно этой плос­кости (Рис.Д2). Из отверстия около дна сосуда вытекает вода со ско­ростью V. Определить коэффициент трения k между сосудом и плоскостью, если масса сосуда с во­дой равна m, а площадь отверстия S. Изменением массы воды,

Рис.Д2 связанным с ее истечением из сосуда, пренебречь.

Д3.(3.25Г) Из ракеты массой М выбрасываются продукты сгора­ния порциями, массы которых m, со скоростью v относительно ракеты. Пренебрегая действием силы тяжести и сопротивлени­ем воздуха, определить скорость и_п ракеты после вылета n-ой порции.

Д4.(3.26Г) На платформе массой М, которая может двигаться по горизонтальной плоскости без трения, стоят n человек, каж­дый массой m. В каком случае платформе будет сообщена большая скорость u: а) если каждый из них последовательно пробежит по платформе с относительной скоростью v и спрыгнет на землю: б) в том случае, когда все люди одновре­менно побегут по платформе и одновременно спрыгнут с нее с той же относительной скоростью v? Разберите случай, когда эти люди стоят на краю платформы и спрыгивают или поочередно или одновременно.

Д5.(3.27Г) Ракету массой М запускают вертикально. Скорость истечения газов из сопла двигателя равна u. При каком расхо­де топлива μ (массы в единицу времени) сила тяги двигателя будет достаточна, чтобы: а) уравновесить действующую на ра­кету силу тяжести; б) сообщить ракете ускорение а = 19,6 м/с².

Д 6.(8.28ГГК) На поверхности пруда плавает доска массой М и длиной L. На конце доски сидит лягушка массой m. Лягушка прыгает под углом к горизонту и «приземляется» на другом конце доски. Найдите начальную скорость v₀ лягушки относи­тельно Земли. Сопротивлением воды можно пренебречь.

Д7(МГТУ3.36). Клин с углом при основании α может без трения перемешаться по гладкой горизонтальной поверхности (см. рис.). При каком соотношении масс m1 и m2 грузов, связанных нитью, перекинутой через блок, клин: а) будет неподвижен; б) начнет перемещаться вправо или влево? Коэффициент трения между грузом массой т₂ и клином равен μ.