2.2.3. Добротность контура и спектр выходного напряжения

Е сли амплитуда тока первой гармоники изменяется по закону

то выходное напряжение U_ВЫХ (t) создаваемое коллекторным током на(комплексном) сопротивлении контура Z_K (ω) (в пред­положении, что добротность Q контура достаточно велика, Q>>1 ) есть

Здесь Z_K (ωo) - модуль, фаза комплексного со­противления контура на боковых частотах АМ-сигнала, а

- глубина модуляции напряжения на контуре. Очевидно, что всегда mu≤mi и с ростом частоты модуляции уменьшается.

Для модуля имеем:

так что

Пусть допустимое относительное уменьшение глубины модуляции на максимально модулирующей частоте . Тогда добротность контура в коллек­торной цепи модулятора должна выбираться

так: ,где удовлетворяет условию:

Если (допустимое уменьшение глубины моду­ляции 30% ), то имеем:

( 25)

При вычислениях по (25) под нужно понимать эффективную ширину спектра модулирующей функции (см.2.1.3.)

Для построения спектра выходного напряжения запишем в виде:

(26)

где и определяются по модуляционной характеристике для выбранного рабочего участка (такого, чтобы нелинейные ис­кажения модуляции не превосходили допустимого значения ).

Под х( t ) в (26) нужно понимать уже нормированную мо­дулирующую функцию, изменяющуюся в пределах от -I до I.

Е сли заданная х( t ) изменяется от -А до А, то

О чевидно, что спектр отличается от спектра х(t) лишь масштабом; если и Cn - амплитуды спектральных сос­тавляющих (t) и х(t) соответственно, то

Заменяя в спектре функции х( t) коэффициенты Cn на и подставляя затем в (26), получим:

Т ок , протекая по частотно-зависимому сопротивлению контура ,создаёт на нём падение напряжения

(*)

В этом выражении:

, - среднее значение амплитуды и глубина модуля­ции тока, определяемые из модуляционной характеристики, Qmax - максимально допустимая добротность контура, фазовый угол комплексного сопротивления контура на частотах

Из (*) видно, как спектр выходного напряжения связан со спектром модулирующей функции х( t ).

П ри построении графика спектра его масштаб удобно нормировать, разделив амплитуды всех спектральных составляющих на общий множитель

При построении формы выходного напряжения можно принять, что это напряжение с точностью до масштабного множителя пов­торяет форму первой гармоники коллекторного тока (см. рис. 2).

3. Теория и решение задачи . 2

3.1. Сигналы угловой модуляции и их свойства

Колебание вида (27)

с переменной начальной фазой называется сигналом угловой модуляции (УМ~сигналом). Функция х(t), как и прежде, определяет закон модуляции.

Если начальная фаза пропорциональна х( t ), т.е. если

(28)

где - девиация (амплитуда) фазы, то (27) есть сигнал фазовой модуляции (ФМ-сигнал)

(29)

Если начальная фаза пропорциональна первооб­разной (т.е. неопределённому интегралу) от х( t ), так что

(30)

где - девиация частоты, то (27) есть сигнал частотной модуляции (ЧМ-с игнал):

(31)

Мгновенной фазой Q(t) колебания с угловой модуляци­ей называется полный аргумент косинуса:

(32)

Мгновенной частотой - скорость изменения мгновенной фазы Q( t ):

{33)

3.1.1. Спектр УМ-сигналов при модуляции по гармоническому закону

Угловая модуляция - существенное нелинейное преобразо­вание, поэтому спектр модулирующей функции весьма сложно свя­зан со спектром модулированного колебания даже при простей­шем - гармоническом - законе модуляции.

Запишем колебание в следующем виде:

(34)

Так как , то (34) можно рассматривать либо как ФМ-сигнал (в этом случае , а закон модуляции ,либо как ЧМ-сигнал(в этом случае -индекс ЧМ, а модуляции ).

Выражение (34) можно представить в виде бесконечного ряда

(35)

коэффициенты которого суть значения функции Бесселя 1-го рода n-го порядка от аргумента .

Выражение (35) есть тригонометрический ряд ; частоты слагаемых этого ряда образуют бесконечную последовательность .

Амплитуда колебаний на частоте пропорциональна модулю функции Бесселя, а фаза колебаний этой частоты определяется законом .

Функции Бесселя обладают следующими свойствами:

А)

Б)

В)

Поэтому хотя формально в (35) присутствует бесконечное число слагаемых, тем не менее всегда можно указать такое и такое что слагаемые с номерами оказываются пренебрежимо малыми. Тогда можно записать

(36)

с ошибкой порядка . сравните сказанное с изложенным в п.2.1.3..

Если в (35) пренебречь слагаемыми, при которых коэффициенты по модулю меньше =0,01 ,то при имеет место следующее приближенное соотношение между n0 и :

(37)

Так как частоты соседних слагаемых в (36) отстоят друг от друга на ,то из (37) получаем следующую оценку эффективной ширины спектра УМ-сигнала при гармоническом законе модуляции ;

(38)

Таким образом, построение спектра УМ-сигнала требует вычислений функций Бесселя. Оно может быть проведено:

-с помощью таблиц и графиков (см /3/)

- на ЭВМ с помощью стандартных программ специальных функций

- с использованием рекуррентного соотношения

(39)

в последнем случае достаточно располагать таблицами первых двух функций (n=0 и n=1) такие таблицы для имеются, например, в распространенном справочнике /4/.