Таким образом, общее выражение АМ-сигнала при модуляции по закону х(t) есть

(2)

2.1.2. Спектр периодической модулирующей функции и спектр АМ-cигнала

Е сли х(t) - периодическая, периода Т, функция, то ee можно записать в виде ряда Фурье:

(3)

где- , -коэффициенты Фурье, вычисленные по формулам:

(4)

В (4) под интегралом нужно брать функцию, стоящую в соответствующей строке (т.е. для аn – cos, bn -sin).

Вводя в рассмотрение амплитуду С_п и фазу , n-ой гармоники,

(5)

можно ряд (3) записать в эквивалентной форме:

(6)

Подставляя это последнее выражение в (2), получим запись АМ- сигнала, из которой ясен его частотный состав:

(7)

Здесь первое слагаемое - несущее колебание, а суммы - соответ­ственно нижняя и верхняя боковые полосы спектра АМ-сигнала.

2.1.3. Эффективная протяжённость спектра модулирующей функции и АМ-колебания

В суммах (6) и (7) фигурирует бесконечное число слагае­мых, так что спектр функции х(t) и спектр АМ-сигнала с законом модуляции х(t) формально имеют неограниченную протя­жённость по оси частот. Однако для любого физического сигнала х( t ) его ряд Фурье обладает тем свойством, что при , хотя, возможно, и не монотонно. Если за­дать некоторое (например, в виде ; где -размах х( t ), a ),то всегда можно указать такое начиная с которого все оказываются мень­ше , т.е.

если (8)

Тогда условно можно считать, что

(9)

с ошибкой порядка . Обычно = (0,01 - 0,I) ,

Число n_о гармоник функции х( t ), найденное с учётом (8), определяет эффективную ширину (или протяжённость) спект­ра этой функции:

(10)

Здесь -основная круговая частота функции х( t ).

Из (10), (9) и (7) следует, что спектр АМ-сигнала при модуляции периодической функцией х( t ) имеет эффективную ширину

(11)

с крайними частотами

2.2. Нелинейный метод формирования ам-сигналов.

В принципиальном отношении сущность AM сводится к перемножению функций х( t ) и . В силу целого ряда причин это перемножение в подавляющем большинстве случаев осуществляется косвенным путём, за счёт использования свойств нелинейных цепей.

Принцип формирования AM в нелинейной цепи основан на том, что при воздействии суммы U= х( t ) + на нелинейный элемент с вольтамперной характеристикой (ВАХ) вида в отклике y (t) появляется компо­нента вида .

Принципиальная схема амплитудного модулятора с транзис­тором в качестве нелинейного элемента изображена на рис.1.

В этой схеме используется нелинейность коллекторно-базовой ВАХ транзистора i_K=i_K(U_Б) называемой также характеристикой прямой передачи).

К базе транзистора приложено 2 напряжения – высокочастотное Ucosωot и

Рисунок 1

низкочастотное

Контур в коллекторной цепи настроен на частоту , так что напряжение U_вых( t ) создаётся практически только теми компонентами тока i (t ), частоты которых попадают в небольшую окрестность частоты , определяемую полосой про­пускания контура.

При модуляции напряжение Е(t) изменяет положение мгно­венной рабочей точки для колебания как следствие изменяется средняя крутизна Sср для первой гармони­ки частоты U)_Q и амплитуда этой гармоники коллекторного тока.

Если в схеме на рис.1 в качестве нелинейного элемента используется иной прибор (электронная лампа или полевой тран­зистор), то ни схема, ни физика процессов в ней, ни метод рас­чёта не изменяются; единственно, что меняется - это использу­емая при расчёте зависимость тока от напряжения; в случае ЭВ-прибора используется зависимость (анодно-сеточная характеристика), в случае полевого транзистора - за­висимость (сток-затворная характеристика).

2.2.1. Статическая модуляционная характеристика

Инженерный расчёт амплитудного модулятора по схеме на рис.1 основан на понятии статическ ой модуляционной харак­теристики, вводимом следующим образом.

Пусть Е( t ) = Е (т.е. не изменяется во времени). Тог­да , а ток в цепи коллектора –

где ... - амплитуды гармоник этого тока. Эти амп­литуды зависят как от так и от Е.

Семейством статических модуляционных характеристик на­зывается зависимость амплитуды первой гармоники , рас­сматриваемая как функция 2-х переменных - и Е:

Если в этой зависимости принять v_m= const, то полу­чим какую-то одну модуляционную характеристику: (Заметим, что при Е =const зависимость есть колебательная характеристика, лежащая в основе квазили­нейного метода исследования стационарного режима генератора синусоидальных колебаний).

Метод вычислений модуляционной характеристики непос­редственно вытекает из её определения: нужно в зависимость подставить ,а затем найти I, как явную функцию Е при данном . При аналитическом расчёте необходимо предварительно аппроксимировать графически заданную ВАХ сквозной передачи . Способ аппрок­симации выбирают с учётом как исходных условий, так и реальной зависимости , именно, если заданная амплитуда мала по сравнению с протяжённостью начального, существенно нелинейного участка ВАХ сквозной передачи, то следует приме­нять, как правило, полиномиальную аппроксимацию; если велико (так что коллекторная цепь работает в режиме отсечки), то целесообразно использовать кусочно-линейную аппроксимацию.

Приводимые ниже примеры поясняют метод расчёта модуля­ционной характеристики.

Пример I.

Пусть на интервале зависимость передаётся полиномом 3-ей степени:

Найти модуляционную характеристику, Решение. Имеем:

Таким образом

(12)

или иначе,

( 13)

г де

(14)

Так как, по исходному предположению, ВАХ описывается полиномом лишь на интервале Uбmin≤Uб≤Uбmax, то полученные соотношения (12), (13) правомерно использовать лишь при тех значениях Е, которые не выводят напряжение Uб за границы этого интервала. Другими словами, в (12) и (13) можно подставлять только

Пример 2.

Пусть ВАХ транзистора передаётся функцией вида:

(15)

Найти модуляционную характеристику.

Решение.

П одставляя в (15) и используя стандартные выкладки метода угла отсечки, можно записать:

( 16)

где - гамма-коэффициент Берга,

для легко получить следующее выражение:

Подставляя сюда n =1, выполняя несложные преобразования и имея в виду (16), можно получить следующее общее выражение для модуляционной характеристики при работе в режиме с отсечкой тока:

(17)

2.2.2. Выбор рабочей точки на модуляционной характеристике и расчёт нелинейных искажений модуляции

Рабочая точка (напряжение Е и соответствующее ему значение I ) выбирается на середине линейного (или почти ли­нейного) участка модуляционной характеристики с таким расчё­том, чтобы обеспечить наибольший допустимый размах ∆Е на­пряжения модуляции и, соответственно, наибольшую величину ∆I абсолютного прироста амплитуды тока первой г армоники (см.рис. 2).

Рисунок 2

Качество модуляции принято характеризовать величиной нелинейных скажений огибающей, возникающих при модуляции по гармоническому закону, т.е. при

Если модуляционная характеристика в пре­делах рабочего участка строго линейна, то где k - её наклон в точке Е_о.

Если модуляционная характеристика нелинейна, то ампли­туда уже не повторяет точно закон изменения Е(t); в огибающей АМ-колебания появляются гармоники частоты моду­ляции Ω.

Количественной мерой искажений служит коэффициент гармоник Кг:

(18)

Амплитуды гармоник огибающей могут быть найдены либо непосредственно (если описывается по­линомиальной зависимостью), либо методами приближённого гар­монического анализа (в частности, методом 5-ти ординат).

Коэффициент гармоник К_г (называемый также коэффициен­том нелинейных искажений) зависит от размаха модулирующего напряжения или что то же самое, от глубины модуляции m, которая при данном определяется так:

(19)

Здесь Еo - рабочая точка на модуляционной характеристике.

Чтобы построить зависимость Кг( m ), нужно задаться несколькими (от 3-х до 5-ти) значениями (так, чтобы по­лучить значения т в пределах 0,2≤m≤0.8-0.9 и для каждого найти соответствующие ему К_г и m .

По построенной зависимости легко найти наибольшее зна­чение m и соответствующее ему значение ∆Е, если задано допустимое значение Кг (в условии 1-й задачи допустимое значение К_г≤0,2).

Способ вычисления К_г и m поясняется приводимыми ниже примерами.

Пример 3.

Пусть модуляционная характеристика описывается полиномом

(см. пример I). Найти К_г и m как функции .

Решение.

Полагая , имеем:

(20)

Таким образом,

Подставляя в (18), получим:

(21)

Подставляя в (19) значения при , найдем:

(22)

Пример 4.

Пусть модуляционная характеристика описывается выра­жением (17). В этом случае при расчёте К_г следует воспользо­ваться методом 5-ти ординат.

Обозначим

(23)

- точки модуляционной характеристики, соответствующие макси­мальному, минимальному, промежуточному (половинному) и нуле­вому значениям напряжения модуляции. Тогда

(24)

Выражения (24) есть формулы метода 5-ти ординат, записан­ные для приближённого определения амплитуд гармоник огибающей.

Порядок расчёта Кг в данном случае таков.

Задавшись , вычисляем по (23) и (17) соответству­ющие значения . Эти значения используем для вычислений по (24) амплитуд , полученные величины подставля­ем в (18) и находим Кг при данном . Глубину модуляции по-прежнему определяем по (19). Описанная процедура проделывается для каждого выбранного значения .

Трудоёмкость расчётов существенно уменьшается, а точность растёт, если их вести на ЭВМ.