1.3. Симплексные преобразования

С помощью симплексных преобразований находятся опорные решения.

Симплексными преобразованиями называются такие преобразования однократного замещения, при которых на выбор разрешающего элемента накладываются следующие ограничения:

1. разрешающий элемент выбирают только в том столбце, где есть положительные элементы;

2. если положительный элемент один, то он берется в качестве разрешающего элемента;

3. если положительных элементов несколько, то в качестве разрешающего элемента берем тот, для которого отношение свободного члена к нему будет наименьшим.

Замечание.

При нахождении опорных решений в правой части системы все свободные члены должны быть неотрицательными.

Пример 5. Найти все опорные решения системы

Решение:

Согласно замечанию, указанному выше, преобразуем систему:

Рассматриваемая система может иметь базисных решений, однако только часть из них может быть опорными.

Составим таблицу

базис
	2	1	1	0	0	-3
	1	3	0	0	1	1
	3	0	0	1	0	-2
	5	10	1	0	3	0	5:10=0,5
	1	3	0	0	1	1	1:3 0,3 - min
	5	6	0	1	2	0	5:6 0,8
		0	1	0			-	-
		1	0	0			: =1	: =1
	3	0	0	1	0	-2	-	-

Таким образом, получаем 3 опорных решения:

, , .

Ответ: , , .

1.4. Основные формы записи задач линейного программирования

Математической моделью экономической задачи называется сово­купность математических соотношений, описывающих рассматрива­емый экономический процесс.

Для составления математической модели необходимо: 1) выбрать пе­ременные задачи; 2) составить систему ограничений; 3) задать целевую функцию.

Переменными задачи называются величины , которые полностью характеризуют экономический процесс. Их обычно записы­вают в виде вектора .

Системой ограничений задачи называется совокупность уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые сле­дуют из ограниченности ресурсов или других экономических условий, например условия положительности переменных. В общем случае они имеют вид

, .

Целевой функцией называют функцию пере­менных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти.

Те решения , которые удовлетворяют системе ограничений, называются возможными решениями.

Те возможные решения , которые удовлетворяют условиям неотрицательности, называются допустимыми решениями.

То допустимое решение , при котором целевая функция достигает своего максимума или минимума, называется оптимальным решением.

Если требуется найти такое решение , которое удовлетворяет системе ограничений , , условиям неотрицательности , , при которых функция , то такая задача называется стандартной (симметричной) задачей линейного программирования.

Если требуется найти такое решение , которое удовлетворяет системе ограничений , , условиям неотрицательности , , при котором функция , то такая задача называется канонической (основной) задачей линейного программирования.

Если требуется найти такое решение , которое удовлетворяет системе ограничений , , условиям неотрицательности , , при котором функция , то такая задача называется общей задачей линейного программирования.