Содержание

Введение
1.1. Метод Жордана-Гаусса ……………………………………………..	5
1.2. Преобразование однократного замещения ………………………..	10
1.3. Симплексные преобразования ……………………………………..	11
1.4. Основные формы записи задач линейного программирования ….	13
1.5. Графический метод решения задач линейного программирования ……………………………………………………….	14
1.6. Симплексный метод решения задач линейного программирования ……………………………………………………….	18
1.7. Теория двойственности ……………………………………………..	22
1.8. Транспортная задача ………………………………………………..	26
Практикум ………………………………………………………………..	38
Вопросы для подготовки к экзамену …………………………………...	47
Список рекомендуемой литературы ……………………………………	47

Введение

Учебная дисциплина «Методы оптимальных решений» входит в цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин для подготовки бакалавров экономического направления. Данная дисциплина формирует основные принципы и математические методы анализа решений.

Цели и задачи дисциплины:

- развить системное мышление студентов путем детального анализа подходов к математическому моделированию и сравнительного анализа разных типов моделей;

- ознакомить студентов с математическими свойствами моделей и методов оптимизации, которые могут использоваться при анализе и решении широкого спектра экономических задач;

- научить студентов выбирать рациональные варианты действий в практических задачах принятия решений с использованием экономико-математических моделей;

- дать студентам математические знания в объеме, достаточном для изучения естественнонаучных и общепрофессиональных дисциплин: для практического использования полученных знаний в решении задач профессиональной направленности;

- привить студентам навыки логического и алгоритмического мышления.

В первой части предлагаемых методических указаний согласно программе курса "Методы оптимальных решений» изложены основные теоретические сведения по теме «Линейное программирование». Подробные решения типовых задач помогут студентам разобраться в соответствующей теме, а приведенные задания для самостоятельного решения и список вопросов для подготовки к зачету (экзамену) дадут возможность закрепить изученный материал.

Желаем успеха!

Линейное программирование

1.1. Метод Жордана-Гаусса

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными

,

где - неизвестные, - коэффициент при неизвестном , - свободный член -ого уравнения ( , ).

Все расчеты по методу Жордана-Гаусса будем проводить в таблице.

Алгоритм метода Жордана-Гаусса.

1. В таблице записываем свободные члены, матрицу коэффициентов при неизвестных. Дополняем таблицу контрольным столбцом, элементы которого получены суммированием элементов строки, т.е. .

			…		…		…
			…		…		…
			…		…		…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…		…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…		…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…		…

2. Во внутренней части таблицы выбираем отличный от нуля разрешающий элемент, например .

3. Все элементы разрешающей строки (с номером ) делим на .

4. Остальные элементы разрешающего столбца (с номером ) заменяем нулями.

5. Все остальные элементы, включая и элементы контрольного столбца, вычисляем по правилу прямоугольника .

6. После заполнения всей таблицы осуществляем контроль: все новые элементы контрольного столбца должны быть равны сумме всех элементов строки.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока все строки не побывают разрешающими.

Замечание.

1. Для удобства вычислений обычно выбирают .

2. Если в процессе решения какая-нибудь строка полностью обнулится, то её вычеркиваем.

3. Если в процессе решения получим строку, у которой все элементы кроме свободного члена, отличного от нуля, равны нулю, то такая система решения не имеет.

4. Если в разрешающей строке какой-либо элемент равен нулю, то весь столбец, в котором стоит этот элемент, в новую таблицу переписывается без изменения.

5. Если в разрешающем столбце какой-либо элемент равен нулю, то строка, в которой стоит этот элемент, в новую таблицу переписывается без изменений.

Переменные, которым соответствуют единичные вектора, называют базисными.

Переменные, которые не входят в базис, называют свободными.

Решения, полученные при приравнивании к нулю свободных переменных, называются базисными.

Максимально возможное число базисных решений системы равно .

Те базисные решения, которые не содержат отрицательных переменных ( ) называются опорными.

Теорема.

1. Если число базисных переменных равно общему числу переменных системы, то система имеет единственное решение.

2. Если число базисных переменных меньше общего числа переменных системы, то система имеет бесконечное множество решений.

Пример 1. Решить систему методом Жордана-Гаусса

Решение:

1-й шаг. По данным системы составим таблицу. Выбираем разрешающий элемент , для удобства вычислений берем . Все элементы первой строки делим на этот разрешающий элемент. Все элементы разрешающего столбца , кроме элемента , обнуляем. Все остальные элементы таблицы вычисляем по правилу прямоугольника.

базис 2 2 -1 1 4 -2 3 2 2 5 1 1 -2 1 1 2 2 -1 1 4 -6 - 1 4 0 -3 -1 -1 -1 0 -3 -10 0 7 1 -2 6 1 -4 0 3 5 0 - 5 0 0 -3 0 0 1 -2 2 1 0 0 3 -1 0 1 0 0

Записываем полученные данные в таблицу. Осуществляем контроль:

Т.к. элементы контрольного столбца, вычисленные по правилу прямоугольника, равны элементам контрольного столбца, вычисленные суммированием элементов по строке, то полученная таблица составлена верно. Выбранному разрешающему элементу соответствовала переменная , следовательно, переменную записываем в базис.

Переходим к следующему шагу.

2-й шаг. Выбираем разрешающий элемент из второй и третьей строчки, для удобства вычислений берем . Все элементы второй строки делим на этот разрешающий элемент. Все элементы разрешающего столбца , кроме элемента , обнуляем. Все остальные элементы таблицы вычисляем по правилу прямоугольника.

Третий столбец в новую таблицу можно переписать без изменений, т.к. в разрешающей стоке в третьем столбце стоит ноль. Записываем полученные данные в таблицу. Осуществляем контроль:

Т.к. элементы контрольного столбца, вычисленные по правилу прямоугольника, равны элементам контрольного столбца, вычисленные суммированием элементов по строке, то полученная таблица составлена верно. Выбранному разрешающему элементу соответствовала переменная , следовательно, переменную записываем в базис.

Переходим к следующему шагу.

3-й шаг. Выбираем разрешающий элемент из третьей строчки, т.к. в этой третьей строке только один элемент отличный от нуля, то в качестве разрешающего элемента выбираем этот элемент . Все элементы третьей строки делим на этот разрешающий элемент. Все элементы разрешающего столбца , кроме элемента , обнуляем. Все остальные элементы таблицы вычисляем по правилу прямоугольника.

Первый, третий и контрольный столбцы в новую таблицу можно переписать без изменений, т.к. в разрешающей строке в первом, третьем и контрольном столбцах стоят нули. Записываем полученные данные в таблицу. Осуществляем контроль:

Т.к. элементы контрольного столбца, вычисленные по правилу прямоугольника, равны элементам контрольного столбца, вычисленные суммированием элементов по строке, то полученная таблица составлена верно. Выбранному разрешающему элементу соответствовала переменная , следовательно, переменную записываем в базис.

Т.к. все строки побывали разрешающими и система приведена к единичному базису, то выписываем ответ:

Ответ: .

Пример 2. Решить систему методом Жордана-Гаусса

Решение:

Составим таблицу.

базис
	5	3	1	4	13
	-3	1	-1	2	-1
	1	1	3	0	5
	2	0	-8	4	-2
	-4	0	-4	2	-6
	1	1	3	0	5
	10	0	0	0	10
	-2	0	-2	1	-3
	1	1	3	0	5

Система не имеет решений.

Ответ: система не совместна.

Пример 3. Решить систему методом Жордана-Гаусса

Решение:

Составим таблицу.

базис
	5	3	1	4	13
	-3	1	-1	2	-1
	-1	5	-1	8	11
	5	3	1	4	13
	2	4	0	6	12
	4	8	0	12	24
		0	1		4
		1	0		3
	0	0	0	0	0

Система имеет бесконечное множество решений. Из последней части таблицы восстановим систему:

, .

Ответ: , .