4.1.4. Выводы по теме

1. Случайная функция – это функция, значение которой при любом значении аргумента является случайной величиной (СВ).

2. Случайный процесс (СП) – процесс случайного изменения состояний какой-либо физической или технической системы по времени или какому-либо другому аргументу.

3. СП могут быть с дискретными или непрерывными состояниями или временем.

4. Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если в любой момент времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависит от того, когда и как система пришла в это состояние.

5. Для описания марковских процессов можно использовать граф переходов (граф состояний).

6. Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Важной характеристикой потока является его интенсивность (среднее число событий, приходящихся на единицу времени).

4.1.5. Вопросы для самоконтроля

1. Что такое случайный процесс?

2. Какой процесс является марковским?

3. Приведите примеры марковских процессов.

4. Что такое граф состояний и для чего он применяется?

5. Какова самая важная характеристика потока событий?

Тема 4.2. Характеристики СМО различных типов

4.2.1. Введение Цели изучения темы изучить различные типы СМО; развить навыки решения задач, соответствующих различным типам СМО. Требования к знаниям и умениям Студент должен знать: характеристики СМО различных типов. Студент должен уметь: решать задачи соответствующие различным типам СМО. План изложения материала Одноканальные СМО с отказами. Одноканальные СМО с ожиданием. Многоканальные СМО с отказами. Многоканальные СМО с ожиданием. Ключевой термин Ключевой термин: СМО. СМО – системы массового обслуживания. Второстепенные термины одноканальные СМО с отказами; одноканальные СМО с ожиданием; многоканальные СМО с отказами; многоканальные СМО с ожиданием. Структурная схема терминов

4.2.2. Одноканальные смо с отказами

При изучении СМО используем следующие предположения:

1. Входной поток является пуассоновским с параметром λ.

2. Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону с параметром λ:

3. Время обслуживания требования не зависит от количества требований, поступивших в систему.

Такая система в любой момент времени t может находиться в одном из двух состояний:

Е₀ – в системе 0 требований (система свободна);

Е₁ – в системе 1 требование (система занята).

Далее мы будем находить вероятности:

Р₀ – система находится в состоянии Е₀;

Р₁ – система находится в состоянии Е₁.

Начиная с некоторого момента времени, вероятность Р₀(t) перестает зависеть от времени и становится постоянной; постоянной будет и Р₁(t). Эти величины равны соответственно

P₀ = μ/λ+μ, P₁ = 1-P₀ = λ/λ+μ.

В таких случаях говорят, что в системе установился стационарный режим работы. Будем находить коэффициент загрузки системы по формуле

φ = P₁/P₀ = λ/μ.

Напомним, что λ – среднее число требований, прибывающих в систему за единицу времени, μ – среднее число обслуженных требований.

Вероятности застать систему свободной и застать её занятой, соответственно равны теперь

P₀ = μ/(λ+μ) = 1/(λ/μ-1) = 1/(φ+1), P₁ = φ/(φ+1).

Ясно, что чем больше коэффициент загрузки, тем больше вероятность отказа системы. Это не выгодно потребителю (но выгодно организатору системы, ибо мала вероятность простоя Р₀). Если уменьшить коэффициент загрузки, то уменьшится вероятность отказа СМО (это выгодно потребителю), но увеличится вероятность простоя (что не выгодно организаторам системы). Мы имеем дело с противоположными тенденциями и, следовательно, необходимо решать задачи оптимизации режима работы СМО.