8. Приемы рациональных вычислений в начальных классах.

(Заимствовано из учебника А.М. Белошистой)

К приемам рациональных вычислений относятся приемы, облегчающее устное сложение и умножение: понимание закономерности изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов, а также приемы умножения на 10, 100, 1000, 5, 15, 25,50 и т.д.

Цель их применения – упрощение числовых выражений, приведение их к наиболее простой для вычисления форме.

К ним относятся все свойства сложения, умножения и деления

34 + 118 + 16 = (34 + 16) + 118 = 50 + 118 = 168 – применили переместительное и сочетательное свойства сложения: переставили местами слагаемые и заменили сумму двух соседних слагаемых ее значением.

Парная группировка слагаемых применяется для решения примера Гаусса: найти сумму первых ста натуральных чисел 1 + 2 + 3 + … + 100.

Применяя данное правило, получаем:

1 + 99 = 100

2 + 98 = 100

49 + 51 = 100. Таких сумм – 49. 49 · 100 + 50 + 100 = 5050.

Наблюдая за закономерностью изменения результата действия от изменения одного из компонентов, приходим к выводу, что при прибавлении к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа, значение разности не изменяется. Например:

563 – 94 = (563 + 6) - (94 + 6) = 569 – 100 = 469.

Прием «округления одного или нескольких слагаемых» заключается в следующем: слагаемые заменяют ближайшими к ним «круглыми» числами, затем из суммы круглых чисел вычитают или прибавляют соответствующие дополнения. Например, 69 + 77 = (70 + 80) - (1 + 3) = 150 – 4 = 146,

181 + 37 = (180 + 40) + 1 – 3 = 218.

Рационализировать вычисления позволяет распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Например: 6 · 13 + 6 · 7 = 6 · (13+7)= 6 · 20 = 120

125 · 24 – 125 · 22 = 125 · (24 - 22) = 125 · 2=250.

Способствует рационализации вычислений распределительное свойство деления относительно сложения и вычитания. Например: (350 - 49) : 7 = 350 : 7 – 49 : 7 = 50 – 7 = 43.

Возможность не выполнять некоторые действия иногда тоже является рациональным приемом вычисления. Например: (657934 + 678451) – 657934 = 678451 или 503 · (657934 + 678451) · 0 = 0, анализ последнего выражения показывает, что один из множителей равен нулю, значит и значение произведения равно нулю.

Приемы «быстрого» умножения и деления.

Прием умножения на 5. Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10, а затем результат разделить пополам.

Например:

23 • 5 =?; 23 • 10 = 230; 230 : 2 = 115, значит, 23 • 5 = 115

Прием умножения четных чисел на 5. Чтобы умножить число на 5, можно разделить его на 2 и результат умножить на 10.

Например:

74 • 5 = 74 : 2 • 10 = 37 • 10 = 370

62482 • 5 = 62482 : 2 • 10 = 31241 • 10 = 312410

Прием умножения на 15. Чтобы умножить число на 15, нужно умножить его на 10, затем умножить его на 5, и результаты сложить.

Например:

95 • 15 =?; 95 • 10 = 950; 95 • 5 = 95 • 10 : 2 = 950 : 2 = 475

959+475=1425

Прием умножения на 25. Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100, и полученный результат разделить на 4.

Например:

12 • 25 =?; 12 • 100 = 1200; 1200 : 4 = 300

В данном примере можно было действовать и другим способом:

12 • 25= 25 • 12 = 25 • 4 • 3 = 100 • 3 = 300

Сначала применяется перестановка множителей, затем второй множитель заменяется произведением двух чисел и применяется сочетательное свойство умножения.

Прием умножения на 125. Чтобы умножить число на 125, можно умножить его на 1000 и результат разделить на 8.

145 • 125 = 145 • 1000 : 8 = 145000 : 8 = 18125

Прием умножения на 75. Чтобы умножить число на 75, можно разделить его на 4, умножить частное на 3, а результат умножить на 100.

128 • 75 = 128 : 4 • 3 • 100 = 32 • 3 • 100 = 9600

Прием умножения четного числа на 55. Чтобы умножить четное число на 55, можно разделить его на 2, частное умножить на 100 и на 10, а затем оба результата сложить.

128 • 55 = 128 : 2 • (100 + 10) = 64 • (100 + 10) = 6400 + 640 = 7040

Прием умножения двух одинаковых множителей, число единиц в которых равно 5. Чтобы выполнить умножение, можно количество десятков умножить на последующее число и к полученному результату приписать 25.

35 • 35 = 1225 75 • 75 = 5625 45 • 45 = 2025

3 • 4 = 12 7 • 8 = 56 4 • 5 = 20

Прием умножения на 9 (99, 999). Чтобы умножить число на 9 (99, 999), можно умножить его на 10 (100, 1000) и из полученного результата вычесть само число.

24 · 9 = 24 • 10 – 9 = 240 – 9 = 231

52 • 99 = 52 • 100 – 52 = 5200 – 52 = 5148

Прием умножения двузначного числа на 99. Чтобы умножить двузначное число на 99, можно к предшествующему числу приписать его дополнение до 100.

63 • 99 = 6237 79 • 99 = 7821

Прием умножения двузначного числа на 11. Чтобы умножить двузначное число на 11, можно раздвинуть его числа и вставить между ними их сумму. Если сумма является двузначным числом, то единицы суммы вставляются между цифрами, а десятки прибавляются к первой цифре.

43 • 11 = 473 73 • 11 = 803

Прием умножения двузначного числа на 101. Чтобы умножить двузначное число на 101, можно справа к нему приписать само число.

57 • 101 = 5757 98 • 101 = 9898

Прием деления на 4 (8, 16). Чтобы разделить число на 4 (8, 16), можно разделить его на 2 дважды (трижды, четырежды).

84 : 4 = 84 : 2 : 2 = 42 : 2 = 21

Прием деления на 5. Чтобы разделить число на 5, можно умножить его на 2, а результат разделить на 10.

175 : 5 = 175 • 2 : 10 = 350 : 10 = 35

Прием деления на 25. Чтобы разделить число на 25, можно число умножить на 4, а результат разделить на 10.

315 : 25 = 315 • 4 : 10 = 1260 : 10 = 126

Прием деления на 125. Чтобы разделить число на 125, можно число умножить на 8, а результат разделить на 1000.

405000 : 125 = 405000 • 8 : 1000 = 3 240000 : 1000 = 3240