4.7.2. Деление в столбик

Вычисления результатов деления многозначного числа на однозначное или многозначного числа на многозначное число требует применения письменных приемов вычислений (письменного алгоритма деления). Этот алгоритм построен на основе правил деления суммы чисел на число, деления числа на произведение чисел и приемов нахождения результатов деления чисел с остатком.

А) Используемые математические законы и правила

Правило деления суммы на число:

(а + в + с) : а = а : а + в : а + с : а

При делении суммы на число можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

В качестве суммы рассматривается трехзначное (многозначное) число, представляемое в виде суммы разрядных или удобных слагаемых. Деление, таким образом, представленного многозначного числа на однозначное число выполняется в соответствии с правилом деления суммы на число. Например:

396 : 3 = (300 + 90 + 6) : 3 = 300 : 3 + 90 : 3 + 6 : 3 = 100 + 30 + 2= 132.

365 : 5 = (350 + 15) : 5 = 350 : 5 + 15 : 5 = 70 + 3 = 73.

Переводя данный способ деления в запись «столбиком», получаем письменный прием (алгоритм) деления на однозначное число. Правило деления числа на произведение:

а : (в • с) = (а : в) : с

При делении числа на произведение можно разделить это число сначала на один множитель, а затем полученный результат разделить на второй множитель.

Например:

5400 : 600 = 5400 : (6 • 100) = 5400 : 100: 6 = 54 : 6 = 9

600 : 24 = 600 : (6 • 4) = (600 : 6) : 4 = 100 : 4 = 25

Использование данного правила позволяет устно выполнять деление, которое в общем случае требует письменных вычислений.

Деление с остатком является основным видом действий, последовательно выполняемым при письменном делении.

Приемы вычислений

Б) Письменное деление на однозначное число

Прием письменного деления включает такие операции:

- замену делимого суммой удобных слагаемых (это чаще называют выделением неполных делимых),

- деление на делитель каждого слагаемого (неполного делимого)

- сложение полученных частных.

Для получения цифр частного используют прием подбора. Не всегда, получается сразу подобрать оптимальную цифру частного. Каждую подобранную цифру частного проверяют. Умножая ее на делитель, находят разницу между неполным делимым и полученным произведением. Если этот остаток меньше делимого, то цифра частного выбрана верно, ее можно записывать в частное и продолжать процесс со вторым неполным делимым и т. п.

Письменное деление может быть с остатком и без остатка.

Письменное деление всегда начинают с высших разрядов, в отличие от письменного умножения.

В традиционном учебнике математики использован поэтапный подход к формированию письменного алгоритма деления:

1-й этап: рассматриваются случаи вида 794 : 2; 984 : 4 - первое неполное делимое однозначное число;

2-й этап: рассматриваются случаи вида 376 : 4; 198 : 6 - первое неполное делимое двузначное',

3-й этап: рассматриваются случаи с нулями в частном (на конце или в середине);

4-й этап: рассматривается деление чисел, оканчивающихся нулями.

Учебник математики для 3 класса содержит подробное описание процесса деления «в столбик». Здесь пошагово оговаривается каждое умственное действие по выполнению подбора и проверки цифр частного, нахождения количества разделенных разрядных единиц, нахождения остатка.

Например, рассмотрим, как выполнено деление с объяснением данное А.В.Белошистой:

748 : 2

1. Делю сотни: 7 сот. делю на 2, можно взять по 3 сот. В частном будет 3 сот.

Проверяю, сколько сотен разделилось: 3 сот. · 2 = 6 сот. Нахожу остаток от деления сотен: 7 сот. - 6 сот. = 1 сот.

2. Делю десятки: 1 сот. = 10 дес. и еще 4 дес. - это 14 дес. 14 дес. делю на 2 - можно взять по 7. Записываю в частном 7 в разряде десятков. 7 дес. • 2 = 14 дес. Нахожу остаток: 14 дес. - 14 дес. = 0. Десятки разделились все.

3. Делю единицы - единиц 8. 8 делю на 2, можно взять по 4. Проверяю: 4 · 2 = 8. Пишу в частном 4 в разряде единиц. Единицы разделились все: 8 - 8 = 0. Остатка нет. Деление закончено.

Ответ: 374.

При делении вида 456 : 8 ход рассуждений аналогичен, только первое неполное делимое - 45 десятков, так как 4 сотни нельзя разделить на 8 так, чтобы получить в частном сотни. Таким образом, первая значащая цифра частного в этом случае будет цифрой десятков.

При делении многозначных чисел для самопроверки полезно заранее определить, сколько цифр должно получиться в записи частного. Выделение первого неполного делимого и определение его десятичного состава как раз и является приемом, позволяющим определить количество цифр частного.

Можно комментирование проводить подробнее. В случае деления 748 : 2 первое неполное делимое - 7 сотен, поскольку 7 сотен можно разделить на 2 так, чтобы в частном получились сотни. Следовательно, первой значащей цифрой частного будет цифра сотен, тогда в частном будет три цифры (сотни, десятки и единицы).

Во втором случае деления 456 : 8 первое неполное делимое - 45 десятков, следовательно, первой значащей цифрой частного будет цифра десятков, тогда в частном будет две цифры (десятки и единицы).

Обучение школьника этому приему самопроверки является важным способом формирования осознаваемой вычислительной деятельности. Особенно важен этот прием при выполнении деления, приводящего к случаям получения нулей в частном. Данное рассуждение полезно отметить постановкой соответствующего количества точек в частном. Это предупредит распространенную в таких случаях ошибку - потерю цифры частного.

Далее деление выполняется по общему алгоритму:

_39648 |56

392 |708

448

448

0

При объяснении получения нуля в частном следует провести следующее комментирование. В делителе две цифры. Отделим в делимом тоже две цифры слева. Они составят 39 тысяч. Но 39 тысяч не делятся на 56 так, чтобы в частном получились тысячи. Значит, в частном будут сотни, десятки и единицы. На их место поставим точки. Первое неполное делимое – 396. Подберем первую цифру частного с помощью приема прикидки. 39 : 5 = 7 с остатком. Поэтому проверим 7.

7 · 56 = 392. 396 – 392 = 4. меньше чем делитель 56, значит, цифра частного найдена, верно. Сносим 4, получаем число 44. 44 не делится на 56. Прежде чем снести цифру 8,поставим в частное 0. 448 разделим на 56. Возьмем по 8. 56 · 8 = 448. читаю ответ: частное – 708.

При делении чисел, оканчивающихся нулями, следует постоянно применять прием «прикидки» цифр частного, это поможет ученику не терять нули в конце деления.