4.6.2. Приемы устных вычислений умножения и деления

трехзначных и многозначных чисел

Приемы устных вычислений с трехзначными и многозначными числами касаются действий умножения и деления с числами, оканчивающимися нулями.

Прием вычислений для случаев вида 200 • 3; 800 : 4; 800 : 200

В этом случае целые сотни (или тысячи в примерах вида 4 000 • 3) рассматриваются как разрядные единицы, что позволяет свести эти случаи к табличному умножению и делению:

200 • 3 800 : 4

2 сот. · 3 = 6 сот. 8 сот. : 4 = 2 сот.

200 · 3 = 600 800 : 4 = 200

Для случаев, когда делитель является неоднозначным числом, проводятся следующие рассуждения:

«800 : 400. Узнаем, сколько раз 400 укладывается в 800. 800 это 8 сотен, 400 это 4 сотни.

8 сот. : 4 сот. = 2. Используя таблицу умножения, получили, что число 400 укладывается в число 800 2 раза. Можем записать:

800 : 400 = 2

Прием вычисления для случаев вида 70 • 6; 320: 8; 4 800: 800

В этом случае целые десятки (или сотни) также рассматриваются как разрядные единицы, что позволяет свести эти случаи либо к табличному умножению и делению, либо применять к ним приемы устного внетабличного умножения и деления в пределах 100.

Например:

70 · 6 320 : 8

7 дес. • 6 = 42 дес. 32 дес. : 8 = 4 дес.

70 • 6 = 420 320 : 8 = 40

Видим, что в третьем случае делитель – неоднозначное число, поэтому будем рассуждать так же, как и в вычислительном случае, когда 800 : 400 случае.

4800 : 800

48 сот.: 8 сот. = 6

4800:800 = 6

При хорошем владении разрядным и десятичным составом чисел дети без труда осваивают эти приемы самостоятельно. Для подведения школьника к осознанию смысла этих приемов можно использовать примеры - помощники:

Например:

Вычисли:

6 · 7 14 : 2

60 · 7 140 : 2

60 · 70 140 : 20

Прием вычисления для случаев вида 840 : 2; 560 : 4; 303· 2; 180 · 4

В подобных случаях необходимо использовать как знание десятичного состава чисел, так и приемы устного внетабличного умножения и деления в пределах 100.

Например:

840 : 2 = (800 + 40) : 2 = 800 : 2 + 40 : 2 = 400 + 20 = 420

560 : 4 = (400 + 160) : 4 = 400 : 4 + 160 : 4 = 100 + 40 = 140

303 · 2 = (300 + 3) ·2 = 300 · 2 + 3 · 2 = 600 + 6 = 606

180 · 6 = (100 + 80) · 6 = 100 · 6 + 80 · 6 = 600 + 480 = 1080

4.7. Письменное умножение и деление

4.7.1 . Умножение в столбик

А) Используемые математические законы и правила

Вычисления произведения многозначного числа на однозначное число или многозначного числа на многозначное число требует применения письменных приемов вычислений (письменного алгоритма). Этот алгоритм построен на основе законов сложения и умножения натуральных чисел.

Правило умножения суммы на число:

(а + в + с) · а = а· а + в · а + с · а

При умножении суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

В качестве суммы рассматривается трехзначное (многозначное) число, представляемое в виде суммы разрядных слагаемых. Таким образом, умножение, представленное многозначным числом на однозначное число выполняется в соответствии с правилом умножения суммы на число.

Например:

125 · 3 = (100 + 20 + 5) · 3= 100 · 3 + 20 · 3 + 5 · 3 = 300 + 60 + 15 = 375

Переводя данный способ умножения в запись «столбиком», получаем письменный прием (алгоритм) умножения на однозначное число.

Правило умножения числа на сумму:

а • (в + с + р) = а · в + а · с + а · р

При умножении числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Это правило является основой приема умножения многозначного числа на многозначное число. Первый множитель - это число, умножаемое на сумму. В качестве суммы в этом случае рассматривается второй множитель, представляемый в виде разрядной суммы. Умножение многозначного числа на многозначное число выполняется в соответствии с правилом умножения числа на сумму. Например:

123 • 212 = 123 • (200 + 10 + 2) = 123 • 200 + 123 • 10 + 123 • 2 = 24600 + 1230 + 246 = 26076

Переводя данный способ умножения в запись «столбиком», получаем письменный прием (алгоритм) умножения на многозначное число.

Приемы вычислений

Б) Письменное умножение на однозначное число

Учебник математики для 3 класса содержит подробное описание процесса умножения «в столбик» 327 · 8, пошагово оговаривающее каждое умственное действие по выполнению умножения и сложения получаемых отдельных сумм:

1. Умножаю единицы: 7 • 8 = 56, 56 это 5 дес. и 6 ед.

2. 6 ед. пишу под единицами, а 5 дес. запоминаю и прибавляю их к десяткам после умножения десятков.

3. Умножаю десятки: 2 дес. • 8 = 16 дес. К 16 дес. прибавляю 5 дес., которые были получены при умножении единиц:

16 дес. + 5 дес. = 21 дес. - это 2 сот. и 1 дес. Пишу 1 дес. под десятками, а 2 сот. запоминаю и прибавляю их к сотням после умножения сотен.

4. Умножаю сотни: 3 сот. • 8 = 24 сот. К 24 сот. прибавляю 2 сот., которые были получены при умножении десятков.

24 сот. + 2 сот. = 26 сот. - это 2 тыс. и 6 сот. Пишу 6 сот. под сотнями, 2 тыс. под тысячами. Читаю ответ: 2616.

Сложность состоит в том, что достоинства этого приема на первых порах составляют главную проблему его усвоения, поскольку все опущенные в короткой записи промежуточные вычисления необходимо выполнять в уме (устно), запоминая при этом промежуточные результаты (сколько и каких единиц нужно прибавить к следующему разряду).

Для прочного усвоения письменных приемов умножения школьник должен:

1. Запомнить правильную запись: разряд записывается под соответствующим разрядом.

2. Запомнить правильный порядок выполнения действия: умножение начинаем с младших разрядов (справа налево).

3. Овладеть технологией запоминания и добавления «лишних» разрядных единиц, получаемых при умножении однозначных чисел, в следующий по старшинству разряд.

В) Письменное умножение на двузначное (и многозначное) число

Это умножение опирается на правило умножения числа на сумму. Прием письменного умножения на двузначное число можно записать подробно:

329 • 24 = 329 • (20 + 4) = 329 • 20 + 329 • 4 = 6580 + 1316 = 7896

или кратко (в столбик):

329

*_24

+1316

658__

7896

Число 1316 называют первым неполным произведением, число 6580 называют вторым неполным произведением. Последний нуль (в разряде единиц) в записи числа 6580 при вычислениях в столбик опускают, лишь подразумевая его, для скорости записи. При этом цифру 8 (количество десятков) записывают в разряде десятков (таким образом, второе неполное произведение записывается со сдвигом влево на одну позицию).

Аналогично производится вычисление и запись умножения на трехзначное число:

. 382

*729

3438

+ 764

2674__

278478

В этом случае имеем три неполных произведения:

382 • 700 = 267 400 - результат умножения числа 382 на число единиц;

382 • 20 =7 640 - результат умножения числа 382 на число де­сятков;

382 · 9 = 3 438 - результат умножения числа 382 на число сотен.

Результат умножения 382 • 729 дает сумма этих неполных произведений.

Записи последних нулей в неполных произведениях при вычислениях в столбик опускаются для экономичности записи, однако они подразумеваются, что показано сдвигом влево на один разряд каждого следующего неполного произведения.

Технически, несмотря на экономичный способ записи, выполнение умножения многозначного числа на двузначное число или трехзначное число - процесс сложный и трудоемкий. Этот процесс требует не только знания способов записи и порядка выполнения действий при письменных вычислениях, но и прочного знания таблицы умножения (до автоматизма), а также умения производить сложение двузначных и однозначных чисел в уме.

Г) Случаи умножения целых чисел (чисел с нулями) вида: 35 • 20; 532 • 300; 2540 • 400.

В основе умножения в этих случаях лежит правило умножения числа на произведение (сочетательное свойство умножения): а • (в • с) = (а • в) • с = (а • с) • в.

Например:

35 • 20 = 35 • (2 • 10) = (35 • 2) • 10 = 70 • 10 = 700

2540 · 400 = 2540 · (4 · 100) = (2540 · 4) · 100 = 10160 · 100 = 1016 000

Письменное умножение чисел с нулями рассматривается отдельно в связи с тем, что при записи таких вычислений в столбик происходит нарушение общего правила записи чисел при письменном умножении.

Записывают такие случаи следующим образом:

2540 532

* 400 * 300

1016000 159600

Заметим, что уже не соблюдается установка: «записываем разряд под соответствующим разрядом». Записывают одну под другой значащие цифры множителей. Например, значащая цифра 4 (число сотен) второго множителя записывается под значащей цифрой 4 (число десятков) первого множителя. Далее умножение производится по принципу «многозначное число умножается на однозначное число», потом результат умножается в уме на количество десятков и сотен в множителях. Технически это выглядит как дописывание к результату справа такого же количества нулей, как в обоих множителях.

Д) Сложные случаи письменного умножения.

К сложным случаям письменного умножения относят все случаи вычислений, в которых происходит либо нарушение способа записи (для краткости вычислений), либо нарушение порядка выполнения алгоритма.

В общем случае при записи умножения в столбик следует записывать разряд под соответствующим разрядом, а вычисления начинать с умножения первого множителя на единицы младшего разряда (разряда единиц). Далее следует умножать первый множитель на число десятков второго множителя, потом - на число сотен и т. д. Так находят неполные произведения, которые затем складывают, получая результат умножения,

В сложных случаях может происходить нарушение формы записи.

Например:

973 340 7050 7050 4210

* 50 *24 * 305 * 305 * 2305000

48650 + 136 3515 + 3515 2105

128__ + 000 2115____ + 1263

14160 2115___ 2150150 842________

2150150 9704050000

В двух первых случаях нарушение формы записи можно объяснить наличием нулей (незначащих цифр) в множителях, что позволяет на первом вычислительном этапе мысленно опускать их, домножая затем результат на нужное количество десятков.

В третьем и пятом случаях происходит нарушение порядка выполнения действий. Здесь после умножения первого множителя на число единиц второго множителя, сразу переходим к умножению первого множителя на число сотен, поскольку число десятков второго множителя обозначено цифрой 0. Подразумевается, что умножение первого множителя на 0 десятков дает нулевой результат во втором неполном произведении. Поэтому для экономичности записи его опускают, подразумевая его «по умолчанию». В связи с этим при умножении первого множителя на число сотен второе (фактически - третье) неполное произведение записывают со сдвигом влево на два разряда, поскольку первая справа, значащая цифра этого неполного произведения будет цифрой сотен, поэтому ее следует записать в разряд сотен.

Для того чтобы ученик понял смысл всех этих многочисленных действий «по умолчанию», при знакомстве с этими трудными случаями следует сначала производить полные записи (третий случай) и выполнять все, предписанные алгоритмом действия, а не просто указывать ребенку, что куда следует «сдвигать». Затем, сравнивая два вида записи третий и четвертый случаи (полный и сокращенный) нужно помочь ученику понять, какие элементы и этапы полного алгоритма и полной записи можно опустить, и что при этом произойдет с формой записи. В этом случае он будет выполнять трансформации формы записи и порядка выполнения действий при письменном умножении осознанно, что способствует пониманию вычислительного приема и формированию осознанной вычислительной деятельности школьника.