4.5.8. Деление с остатком

Для того чтобы ученик овладел умением делить с остатком, необходимо, чтобы он усвоил: а) табличное умножение и деление;

б) сложение и вычитание чисел в пределах ста.

Этапы изучения:

1. Практические действия (рассматриваются разные ситуации, в результате которых уясняется смысл деления с остатком).

2. Учитель показывает запись.

3. Разъясняет основное условие (остаток меньше делителя).

Деление с остатком – это важный этап для перехода к делению многозначных чисел.

Раскрывая общий прием деления с остатком, лучше брать примеры парами: один из них на деление без остатка, а другой на деление с остатком, но примеры должны иметь одинаковые делители и частные, например:

18 : 3 = 6 45 : 9 = 5 56 : 8 = 7

19 : 3 = 6 (ост. 1) 48 : 9 = 5 (ост. 3) 59 : 8 = 7 (ост. 3)

Далее решаются примеры на деление с остатком без примера-помощника. Пусть надо 37 разделить на 8. Ученик должен усвоить следующее рассуждение: «37 на 8 без остатка не делится. Самое большое число, которое меньше, чем 37, и делится на 8 без остатка, 32. 32 разделить на 8, получится 4; из 37 вычтем 32, получится 5, в остатке 5. Значит, 37 разделить на 8, получится 4 и в остатке 5».

Навык деления с остатком вырабатывается в результате тренировки, поэтому надо больше включать примеров на деление с остатком, как в устные упражнения, так и в письменные работы.

Выполняя деление с остатком, учащиеся иногда получают остаток больше делителя, например: 47:5 = 8 (ост. 7). Чтобы предупредить такие ошибки, полезно предлагать детям неверно решенные примеры, пусть они найдут ошибку, объяснят причину ее появления и решат пример.

4.5.9. Приемы умножения и деления

на разрядную единицу

(умножения и деления на 10, 100, 1 000)

Умножение на разрядную единицу переводит число в следующие разряды. Технически такое умножение добавляет нули справа в запись числа, что увеличивает количество содержащихся в нем разрядов на количество добавленных нулей.

Например:

65 · 10 = 650 43 · 100 = 4300 75 • 1 000 = 75 000

Делить на 10, 100, 1 000 в области натуральных чисел можно только числа, содержащие соответствующее количество младших разрядов, не имеющих значащих цифр. Технически при этом как бы убирают соответствующее количество нулей справа, начиная с последнего разряда.

Например:

650:10 = 65 8600:100 = 86 71000:1000 = 71

4500 : 10 = 450 1230000 : 100 = 12300

Во всех остальных случаях деления на разрядную единицу в области натуральных чисел будет получаться деление с остатком.

Например:

642 : 10 = 64 (ост. 2) 5 140 : 100 = 51 (ост. 40)

4.6. Особые случаи умножения и деления.

4.6.1. Внетабличное умножение и деление в пределах 100

Приемы вычислений

1. Умножение и деление чисел, оканчивающихся нулем: 20 · 3; 3 • 20; 60 : 3; 80 : 20

Вычислительный прием в данном случае сводится к умножению и делению однозначных чисел, выражающих число десятков в заданных числах.

Например:

20 • 3 =... 2 дес. -3 = 20-3 = 60

3 • 20 = ... 20 • 3 = 60 3 • 20 = 60

60: 3 = ...

6 дес.: 3 = 2 дес.

60 : 3 = 20

Для случая 80:20 может быть использовано два способа вычислений: тот, что использовался в предыдущих случаях, и способ подбора частного.

Например:80 : 20 . Рассуждаем 80 – это 8 десятков,20 это 2 десятка.

8 дес. : 2 дес. Сколько раз 2 десятка помещаются в восьми десятках? Опираясь на взаимосвязь таблиц умножения и деления, получаем: 20 • 4 = 80. Значит,

80 : 20 = 4.

В первом случае использовался прием представления двузначных десятков в виде разрядных единиц, что сводит рассматриваемый случай к табличному случаю(8 : 2). Во втором случае цифра частного находится подбором и проверяется умножением. Во втором случае школьник, возможно, не сразу подберет верную цифру частного, это означает, что проверка будет выполнена не один раз.

2. Прием деления двузначного числа на двузначное: 68 : 17

При делении двузначного числа на двузначное число необходимы следующие знания и умения:

68 : 17 =

Пользуем прием подбора, частного. Для этого будем опираться на связь деления и умножения 2 • 17 = 17 • 2 = 34. 34 < 68, значит, число 2 не подходит.

3 · 17 = 17 · 3 = 51. 51 < 68, значит, число 3 не подходит.

4 • 17 = 17 • 4 = 68. 68 = 68, значит 68 : 17 = 4.

Сложность этого приема состоит в том, что ученик не может сразу подобрать нужную цифру частного и выполняет несколько проверок подобранных цифр, что требует достаточно сложных вычислений. Многие школьники тратят много времени на выполнение вычислений этого вида, поскольку начинают не столько подбирать подходящую цифру частного, сколько перебирают все множители подряд, начиная с двух.

С целью облегчения вычислений могут быть использованы два приема:

1) ориентировка на последнюю цифру делимого;

2) прием округления.

Первый прием предполагает, что при подборе возможной цифры частного ученик ориентируется на знание таблицы умножения, сразу перемножая подобранную цифру (число) и последнюю цифру делителя.

Например, 3 · 7 = 21. Последняя цифра числа 68 - это 8, значит, нет смысла умножать 17 на 3, последняя цифра делителя все равно не совпадает. Пробуем в частном число 4 - умножаем 7 • 4 = 28. Последняя цифра совпадает, значит, имеет смысл найти произведение 17 · 4.

Второй прием предполагает округление делителя и подбор цифры частного с ориентиром на округленный делитель.

Например, 68:17 делитель 17 округляется до 20. Примерная цифра частного 3 дает при проверке 20 • 3 = 60. 60 < 68, значит, имеет смысл сразу проверять в качестве цифры частного 4:17 • 4 = 68.

Эти приемы позволяют сократить затраты сил и времени при выполнении вычислений данного вида, но требуют хорошего знания таблицы умножения и умения округлять числа.

Целые числа, оканчивающиеся цифрами 0,1,2,3,4, округляют до ближайшего целого десятка, отбрасывая эти цифры.

Например, числа 12, 13, 14 следует округлять до 10. Числа 62, 63, 64 округляют до 60.

Целые числа, оканчивающиеся цифрами 5, 6, 7, 8,9, округляют до ближайшего целого десятка в большую сторону.

Например, числа 15,16,17,18,19 округляют до 20. Числа 65, 66, 67,68, 69 округляют до 70.