4.5.6.Внетабличное умножение и деление

Сначала вводятся приемы для случаев умножения и деления чисел, оканчивающихся 0. Решение таких примеров сводится к умножению и делению однозначных чисел, выражающих число десятков.

20 · 3 20 это 2 дес. 2 дес. · 3 = 6 дес. 6 дес. это 60. Значит 20 · 3 = 60

80:4 80 это 8 дес. 8 дес. : 4 = 2 дес. Значит 80 : 1 = 20.

При умножении однозначных чисел на круглые двузначные числа используется прием перестановки множителей.

Деление круглых двузначных чисел на круглые двузначные выполняется способом подбора частного на основе связи между компонентами и результатом умножения.

Прием умножения двузначного числа на однозначное число:

12 · 3 = (10 + 2) · 3 = 10 · 3 + 2 · 3 = 36. Теоретическая основа – правило умножения суммы на число.

При умножении однозначного числа на двузначное используется правило умножения числа на сумму, например:

6 · 12 = 6 · (10 + 2) = 6 · 10+ 6 · 2 = 72.

Можно использовать и переместительное свойство умножения:

6 · 12 = 12 · 6 = 72.

При делении двузначного числа на однозначное теоретической основой является правило деления суммы на число.

46 : 2 = (40 + 6) : 2 = 40 : 2 + 6 : 2 = 20 + 3 = 23. Теоретическая основа – правило деления суммы на число, причем делимое заменяем суммой разрядных слагаемых (40 + 6),

50 : 2 = (40 + 10) : 2 = 40 : 2 + 10 : 2 = 20 + 5 = 25 Теоретическая основа – правило деления суммы на число, причем делимое заменяем суммой удобных слагаемых, которыми будут круглые числа (40+10).

72 : 6 = (60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6 = 10 + 2 = 12 Теоретическая основа – правило деления суммы на число, причем делимое заменяем суммой двух чисел, одно из которых – круглое число, а другое - двузначное (60 + 12).

Заметим, что слагаемые будут удобными в том смысле, что при делении их на данный делитель получаются разрядные слагаемые частного.

Теоретической основой для случая вида 81 : 27 является взаимосвязь между умножением и делением. Используется метод подбора.

Для формирования навыка подбора частного большое значение имеют также упражнения тренировочного характера и знание наизусть некоторых случаев внетабличного умножения.

4.5.7. Математические законы и правила,

используемые при умножении и делении

.

1. Правило умножения суммы на число.

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить

(а + в) · с = а · с + в · с.

Этот прием применяется при умножении двузначного числа на однозначное число:

23 • 4; 4 · 23

При умножении двузначного числа на однозначное число актуализируются следующие знания и умения:

23 · 4 = (20 + 3) · 4 = 20 · 4 + 3 · 4 = 80 + 12 = 92

2. Правило умножения числа на сумму.

Чтобы умножить число на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

с · (а + в) = с · а + с · в.

В случае умножения вида 4 • 23 сначала применяется перестановка множителей, а затем та же схема умножения, что и выше.

3. Правило деления суммы на число.

Чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить

(а + в) с = а : с + в : с.

Это правило является основой деления двузначного числа на однозначное число: 48:3; 48:2

При делении двузначного числа на однозначное число актуализируются следующие знания и умения:

48 : 3 = (30 + 18) : 3 здесь числа 30 и 18 являются «удобными» для деления на число 3.

30 : 3 + 18 : 3 = 10 + 6 = 16 30:3 18: 3

Здесь реализуется табличное деление и деление круглых десятков.

4. Умножение и деление с 0 и 1

Случаи умножения и деления с 0 и 1 считаются особыми и рассматриваются отдельно от табличных случаев умножения и деления, так как они не могут быть объяснены с общих позиций смысла действий умножения и деления. Фразы: «повторяем слагаемые 1 раз» или «повторяем слагаемые 0 раз» не имеет смысла. На общее определение в этом случае не ссылаются, а просто вводят эти случаи по соглашению. Школьникам сообщают что, умножая любое число на 1, получаем в произведении это же число; а, умножая, любое число на 0, получаем в произведении 0.

При умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали.

При умножении любого числа на нуль получается нуль.

5. На нуль делить нельзя! Это правило вводится аналогичным образом.

6. Правило группировки множителей (сочетательное свойство умножения)

Правило группировки множителей (сочетательное свойство умножения) представлено в учебнике, как правило, умножения числа на произведение. Это правило позволяет научить учащихся новым способам действия при выполнении устных внетабличных вычислений. В буквенном виде правило может быть представлено следующим образом:

(а • в) • с = а • (в • с) = (а • с) • в

В основе его разъяснения лежит конкретный смысл действия умножения и правило перестановки множителей. Рассматривая три способа вычисления результатов с опорой на анализ рисунка, дети убеждаются в том, что результат при всех способах вычислений одинаковый.

Формулируется правило:

Умножить число на произведение можно разными способами:

1) Вычислить произведение и умножить на него число: 6 · (3 · 4) = 6 · 12 = 72

2) Умножить число на первый множитель и результат умножить на второй множитель:

6 · (3 · 4) = (6 · 3) · 4= 18 · 4 = 72

3) Умножить число на второй множитель и результат умножить на первый множитель:

6 · (3 · 4) = (6 · 4) · 3 = 24 · 3 = 72

Фактически все три данные правила могут быть заменены более короткой общей формулировкой: Чтобы найти произведение нескольких множителей, их можно перемножить в любом порядке.

Методически данное правило имеет целью подготовить школьника к знакомству со способами умножения в столбик чисел, оканчивающихся нулями, поэтому с ним знакомятся только в четвертом классе. Реально данное свойство умножения позволяет рационализировать устные вычисления как во 2, так и в 3 классе.

Например:

Вычисли: (7 • 2) • 5 = ...

В данном случае намного легче вычислить вариант

7 • (2 • 5) = 7 • 10 = 70.