4.4. Умножение

4.4.1. Смысл действия умножения.

Действие умножения рассматривается как сумма одинаковых слагаемых.

а • 1 = а, а· 0 = 0.

Запись вида 2 · 3 = 6 подразумевает сокращение записи вида 2 + 2 + 2 = 6. Ее читают так: «по 2 взять 3 раза, получится 6»; или: «2 умножить на 3 получится 6».

Действие умножения во всех учебниках математики для начальных классов рассматривают раньше действия деления.

С теоретико-множественной точки зрения умножению соответствуют такие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов) как объединение равных (равночисленных) совокупностей. Поэтому, прежде чем знакомиться с символикой записи действий и вычислениями результатов действий, школьник должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации. Он должен понимать (т. е. правильно представлять) их со слов учителя, уметь показывать руками, как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

Виды заданий, которые предлагаются школьникам до знакомства с символикой действия умножения (в 1 и 2 классе):

1. Посчитай двойками (тройками, пятерками).

2. Нарисуй рисунок: «На трех тарелках по 2 апельсина». Сосчитай, сколько всего апельсинов.

3. Найди лишнюю запись: 2 + 2; 2 + 2 + 2; 2+2+2+2; 2+3+2+2+2.

Найди значение каждого выражения наиболее удобным способом.

4. Сделай запись выражения по рисунку:

ОО ОО ОО ОО

Виды заданий, используемых для усвоения школьником смысла умножения при знакомстве с этим действием:

а) на соотнесение рисунка и математической записи;

б) на нахождение суммы одинаковых слагаемых;

в) на замену сложения умножением;

г) на понимание смысла «определения действия умножения».

Выражение вида 2 • 3 называют произведением.

Числа 2 и 3 в этой записи называют сомножителями (множителями).

Запись вида 2 • 3 = 6 называют равенством. Число 6 называют значением выражения. Так как число 6 в данном случае получено в результате умножения, его также часто называют произведением.

Например:

Найдите произведение чисел 3 и 6. (Произведение чисел 3 и 6 - это 18.)

Поскольку названия компонентов действия умножения вводятся по соглашению (детям сообщаются эти названия и их необходимо запомнить), учитель должен активно использовать задания, требующие распознавания компонентов действий и употребления их названий в речи.

4.4.2. Табличное умножение

Изучение таблицы умножения является центральной задачей обучения математике во 2 и 3 классе.

К табличному умножению относят случаи умножения натуральных однозначных чисел на натуральные однозначные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых). Результаты табличного умножения в соответствии с программными требованиями к знаниям, умениям и навыкам учащиеся должны знать наизусть.

Умножение с числом нуль, умножение с числами 1 и 10 относят к особым случаям.

Первые приемы составления таблиц умножения связаны со смыслом действия умножения. Результаты этих таблиц получают последовательным сложением одинаковых слагаемых.

Например:

Умножение числа 2

Вычисли и запомни:

2 + 2 2 · 2

2 + 2 + 2 2 · 3

2 + 2 + 2 + 2 2 · 4

При небольших значениях множителей результаты вычисляют.

При значении второго множителя больше 5, удобнее использовать для получения результатов табличных значений другой прием: прием прибавления к предыдущему результату. Например:

Вычисли и запомни:

2 · 6 = 2 · 5 + 2 = ...

2 · 7 = 2 · 6 + 2=...

2 · 8 = 2 · 7 + 2 =...

2 · 9 = 2 · 8 + 2=...

В учебнике математики для 2 класса этот прием дан более пространно, и поэтому не всегда правильно понимается с точки зрения техники выполнения.

Аналогичным образом составляется таблица значений умножения числа 3.

Следующим приемом, на основе которого составляются таблицы значений умножения чисел, является прием перестановки множителей. Этот прием фактически является первым математическим законом относительно действия умножения в начальной школе:

Способ знакомства детей с этим правилом (законом) обусловлен ранее введенным смыслом действия умножения. Знакомство с переместительным свойством умножения. Правило перестановки множителей: от перестановки множителей значение произведения не изменяется.

Как посчитать число квадратов?

Можно посчитать по столбикам: 3+3+3+3+3=3 · 5=15.

Можно посчитать по строчкам: 5+5+5=5 · 3=15

Важно, чтобы учитель понимал, что переместительное свойство умножения не аналогично переместительному свойству сложения.

Для закрепления школьникам дается два вида упражнений: на основе правила перестановки множителей найти, не вычисляя □ · 6 = 6 · 7; сравни, не вычисляя 5 · 7 * 7 · 5. Подобные упражнения важны для развития математического мышления.

Используя предметные модели множеств, дети сосчитывают результаты группировки их элементов разными способами, и убеждаются, что результаты не меняются от изменения способов группировки. Счет элементов рисунка (множества) парами по горизонтали совпадает со счетом элементов тройками по вертикали. Рассмотрение нескольких вариантов подобных случаев дает возможность индуктивное обобщение (т. е. обобщение нескольких частных случаев в обобщенном правиле) о том, что перестановка множителей не меняет значение произведения.

На основе этого правила, используемого как прием счета, составляется таблица умножения на 2.

Например:

Используя таблицу умножения числа 2, вычисли и запомни таблицу умножения на 2:

2 · 3 = 6 3 · 2 = ...

2 · 4 = 8 4 • 2 =...

2 · 5=10 5 · 2 = ...

2 · 6=12 6 · 2 = ...

2 · 7 = 14 \ 7 · 2 = ...

2 · 8=16 8 · 2 = ...

2 · 9 = 18 9 · 2 = ...

На основе этого же приема составляется таблица умножения на 3:

Составление двух первых таблиц распределяется на два урока, что увеличивает время, отведенное на их заучивание. Каждая из двух последних таблиц составляется на одном уроке, поскольку предполагается, что дети, зная исходную таблицу, не должны отдельно заучивать результаты таблиц, полученных с помощью перестановки множителей. Многие школьники учат каждую таблицу отдельно, так как у них недостаточный уровень развития гибкости мышления не позволяет им легко перестроить модель заученной схемы табличного случая в обратном порядке. При вычислении случаев вида 9 • 2 или 8 • 3 учащиеся снова возвращаются к приему последовательного сложения, что естественно требует времени для получения результата.

При составлении таблицы умножения числа 5 в 3 классе, только первое произведение получают путем сложения одинаковых слагаемых: 5 · 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25. Остальные случаи получают приемом прибавления пяти к предыдущему результату:

5 · 6 = 5 · 5 + 5 = 30

5 · 7 = 5 · 6 + 5 = 35

5 · 8 = 5 · 7 + 5 = 40

5 · 9 = 5 · 8 + 5 = 45

Одновременно с этой таблицей составляется и взаимосвязанная с ней таблица умножения на 5: 6 • 5; 7 • 5; 8 • 5; 9 • 5.

Таблица умножения числа 6 содержит четыре случая: 6 • 6; 6 • 7; 6 · 8; 6 · 9.

Таблица умножения на 6 содержит три случая: 7 • 6; 8 • 6; 9 • 6.

Таблица умножения числа 7 содержит три случая: 7 • 7; 7 • 8; 7 • 9.

Таблица умножения на 7 содержит два случая: 8 • 7; 9 • 7.

Таблица умножения числа 8 содержит два случая: 8 • 8; 8 • 9.

Таблица умножения на 8 содержит один случай: 9 • 8.

Таблица умножения числа 9 содержит, только один случай: 9 • 9.

Теоретический подход к подобному построению системы изучения табличного умножения предполагает, что именно в таком соответствии школьник и будет запоминать случаи табличного умножения. Наибольшее количество случаев содержит наиболее легкая для запоминания таблица умножения числа 2, а наиболее трудная для запоминания таблица умножения числа 9 содержит всего один случай. Реально, рассматривая каждую новую «порцию» таблицы умножения, учитель обычно восстанавливает весь объем каждой таблицы (все случаи).

Тема «Табличное умножение» в начальных классах является наиболее сложной, так как:

- требуется заучить наизусть большой объем материала;

- при запоминании взаимосвязанных случаев обнаруживается сложность в образовании ассоциативных связей;

- в установленные программой сроки необходимо всем школьникам выучить наизусть все табличные случаи.

В связи с этим важными являются вопросы, связанные с приемами запоминания школьниками таблицы умножения.