4.3. Вычислительные приемы сложения и вычитания для чисел первой тысячи и многозначных чисел

4.3.1. Вычислительные приемы для чисел первой тысячи

А) Используемые математические законы и правила

В концентре «Тысяча» изучаются устные и письменные приемы вычислений. В основе формирования вычислительной деятельности школьника в пределах первой тысячи лежат следующие закономерности, законы и правила арифметических действий:

1. Принцип построения натурального ряда используется для случаев, позволяющих опираться на прием присчитывания и отсчитывания по 1:

655 + 1; 999 + 1; 760 – 1; 500 – 1.

2. Разрядный и десятичный состав трехзначных чисел является основой для выполнения действий сложения и вычитания целыми разрядами:

270 – 70; 540 – 500; 800 + 50; 510 + 3; 854 – 54.

3. Правила арифметических действий, с которыми дети знакомились в концентре «Сотня»:

а) перестановка слагаемых: 7 + 765 = 765+ 7;

б) группировка слагаемых: 234 + 25 + 16 = 234 + 16 + 25;

в) правило прибавления числа к сумме;

г) правило прибавления суммы к числу;

д) правило прибавления суммы к сумме является основой письменного алгоритма вычислений. Оно используется при вычислениях в пределах первой тысячи: сотни складываются с сотнями, десятки складываются с десятками, единицы - с единицами;

е) соответствующие правила используются для вычитания: вычитание числа из суммы, вычитание суммы из числа, вычитание суммы из суммы.

В методике изучения устных и письменных приемов вычислений в первой тысяче много сходного с методикой работы над аналогичной темой в концентре «Сотня».

Б) Способы устных вычислений

А.В. Белошистая проводя анализ изучения арифметических действий младшими школьниками, отмечает, что устные приемы сложения и вычитания в пределах первой тысячи изучаются в третьем классе четырехлетней начальной школы в следующем порядке:

1. Нумерационные случаи

а) Случаи вида:

345 + 1; 345 – 1; 560 + 1; 560 – 1; 399 + 1; 400 – 1. При выполнении вычислений данного вида ссылаются на принцип построения натурального ряда чисел:

- добавление к числу единицы дает число, следующее по счету;

- вычитание единицы дает число, предшествующее по счету.

Например: 399 + 1 - добавляя к числу 1, получаем число следующее. Следующее за числом 399 число 400, значит 399 + 1 = 400.

б) Случаи вида:

750 – 50; 750 – 700; 700 + 50; 765 – 5; 765 – 65. При выполнении вычислений данного вида ученик должен хорошо знать принцип поразрядного строения чисел в десятичной системе счисления.

Например: 820 + 8 - в числе 820 в разряде единиц 0. Добавляя 8, помещаем их в разряд единиц, получаем 828.

2. Сложение и вычитание целых сотен

Сложение и вычитание вида 500 + 300, 800 - 300 является первым вычислительным приемом, с которого начинается формирование устных вычислений в пределах 1000.

Для освоения этого приема ученик должен хорошо представлять разрядный состав трехзначного числа. Рассматривая 500 как 5 сот. и 300 как 3 сот., прием 500 + 300 вычисляется как

5 сот. + 3 сот. Ответ 8 сот. затем рассматривается как 800 и записывается результат вычислений. Таким образом, вычисления целыми сотнями сводятся к табличным вычислениям в пределах 10.

3. Сложение и вычитание целых десятков, приводящее к действиям в пределах тысячи

К этим случаям относятся вычисления вида 90 + 70 и 150 - 70. Вычислительный прием: 90 = 9 дес.; 70 = 7 дес.; 9 дес. + 7 дес. = 16 дес.; 16 дес. = 160. Значит 90 + 70 = 160.

150 = 15 дес.; 70 = 7 дес.; 15 дес. - 7 дес. = 8 дес.; 8 дес. = 80. Значит 150 - 70 = 80.

При вычислениях используется знание десятичного состава трехзначных чисел. Таким образом, действия целыми десятками рассматриваются как действия с разрядными числами в пределах 20 (табличные случаи).

4. Сложение и вычитание целых десятков, приводящее к действиям в пределах 100

К этим случаям относятся вычисления вида 640 + 20, 640 - 400. Вычисления могут выполняться двумя способами:

а) на основе знания десятичного состава трехзначных чисел данные вычисления могут быть заменены вычислениями вида

64 дес. + 2 дес. и 64 дес. - 40 дес. - в этом случае вычисления в пределах 1000 заменяются уже знакомыми приемами вычислений в пределах 100;

б) могут быть использованы правила прибавления числа к сумме и вычитания числа из суммы:

640 + 20 = (600 + 40) + 20 = 600 + (40 + 20) = 600 + 60 = 660;

640 - 400 = (600 + 40) - 400 = (600 - 400) + 40 = 200 + 40 = 240.

Аналогичным образом используются правила прибавления суммы к числу, вычитания суммы из числа, прибавления суммы к сумме:

600 + 230 = 600 + (200 + 30) = (600 + 200) + 30 = 800 + 30 = 830. В основе всех этих случаев лежит знание разрядного состава трехзначных чисел и умение выполнять устные вычисления в пределах 10, 20 и 100.

В) Способы письменных вычислений (в столбик)

Наиболее важную роль письменные приемы сложения и вычитания играют при вычислениях в пределах 1000 (трехзначные числа), так как вычисления в уме с трехзначными числами сложно для всех детей.

Усвоение школьниками нумерации четырехзначных и многозначных чисел позволяет им осуществить перенос умения складывать и вычитать числа «столбиком» из области трехзначных чисел на область многозначных чисел.

При знакомстве с письменными приемами сложения и вычитания в пределах 1000 проводится аналогия с алгоритмом письменного сложения и вычитания в пределах 100:

При сложении трехзначных чисел удобно записывать пример столбиком, как и при сложении двузначных чисел и складывать сначала единицы, потом десятки, а потом сотни.

Письменный алгоритм сложения и вычитания содержит:

- правило записи слагаемых (или уменьшаемого и вычитаемого) при письменном сложении (вычитании): разряд записывается под соответствующим разрядом.

- указание на порядок выполнения действий: сложение (вычитание) начинаем с разряда единиц (справа налево).

- прием добавления накапливающихся единиц старших разрядов в соответствующий разряд после выполнения основного сложения. Прием, когда приходится «занимать» разрядные единицы в старших разрядах при вычитании в случае недостатка единиц для выполнения действий.

Последовательность знакомства детей с различными случаями сложения и вычитания:

1. Случаи сложения без перехода через разряд: 756 + 222.

2. Случаи сложения с одним переходом через один разряд (разряд десятков или разряд единиц): 254 + 471, 257 + 34.

3. Случаи сложения с двумя переходами через разряд: 889 + 34, 89 + 98.

4. Случи сложения с переходом через разряд, приводящие к получению нуля в одном из разрядов: 326 + 279 = 605.

5. Случаи вычитания без перехода через разряд: 456 - 123.

6. Случаи вычитания с одним переходом через разряд: 567 - 284.

7. Случаи вычитания с двумя переходами через разряд: 952 - 688.

8. Случаи вычитания с переходами через разряд, при наличии нуля в одном из разрядов уменьшаемого: 990 - 567, 609 - 77.

9. Случаи вычитания с двумя переходами через разряд, когда требуется сразу занимать в разряде сотен: 907 - 769.

Последний случай требует занимать разрядную единицу из разряда сотен, раскладывая сотню сначала на десять десятков. Далее приходится занимать один десяток из разложенных десяти десятков для выполнения действий в разряде единиц. Затем выполняется действие в разряде десятков, где на месте уменьшаемого уже будет не 0, а 9.

Этот случай является наиболее сложным для многих детей. Для того чтобы не терять количество занятых десятков, можно подписывать над нулем уменьшаемого девятку, обозначая количество оставшихся занятых десятков.

Усвоение письменных приемов сложения и вычитания трехзначных чисел является условием успешного применения их к числам любой величины.

При выполнении письменного сложения и вычитания для каждого действия используется два способа проверки полученных результатов.

Для сложения: из суммы можно вычесть любое из слагаемых, при этом в результате должно получиться другое слагаемое.

Для вычитания: можно найти сумму вычитаемого и разности, при этом в результате получится уменьшаемое; можно из уменьшаемого вычесть разность, при этом в результате получится вычитаемое.