4.2. Вычислительные приемы сложения и вычитания для чисел первой сотни

4.2.1. Математические законы и правила,

которые используются при сложении и вычитании

Выделим правила, которые изучают младшие школьники на уроках математики с целью формирования умения вычислять.

Правило перестановки слагаемых:

от перестановки слагаемых значение суммы не изменяется.

а + b = b + a

Правило группировки слагаемых:

при сложении трех и более чисел соседние слагаемые можно заменить их суммой.

Правило сложения разрядных единиц:

единицы складываются с единицами, десятки складываются с десятками.

Правило прибавления числа к сумме:

чтобы прибавить число к сумме, можно прибавить его к любому слагаемому, а затем, к полученной сумме прибавить оставшееся слагаемое.

(а + в) + с = (а + с) + в или (а + в) + с = (в + с) + а

Правило прибавления суммы к числу:

чтобы прибавить сумму к числу, можно прибавить к этому числу любое слагаемое суммы, а затем к полученному результату прибавить оставшееся слагаемое.

а + (в + с) = (а + в) + с или а + (в + с) = (а + с) + в

Правило вычитания разрядных единиц:

единицы вычитаются из единиц, десятки вычитаются из десятков.

Правило вычитания числа из суммы:

чтобы вычесть число из суммы, нужно вычесть это число из любого слагаемого, а затем к результату прибавить оставшееся слагаемое.

(а + в) – с = (а – с) + в

Правило вычитания суммы из числа:

чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа любое слагаемое, а затем из полученного результата вычесть другое слагаемое.

а – (в + с) = а – в – с.

Прибавление и вычитание нуля результата не меняет.

Остановимся подробнее на некоторых из них

А) Правило группировки слагаемых

Правило группировки слагаемых играет роль вычислительного приема, позволяющего рационализировать вычислительную деятельность. Это правило может быть использовано при выполнении действий в выражениях, содержащих более двух слагаемых. При этом обязательно следует отметить, что это правило касается только выражений, содержащих действие сложения. Правило изучается во 2 классе.

Правило группировки слагаемых:

При сложении трех и более чисел соседние слагаемые можно заменять их суммой.

Для закрепления этого правила школьникам даются такие задания: «Вычисли удобным способом:

3 + 6 + 4 =... 7 + 30 + 60 =...

90 - 70 + 5 =... 30 + 8 + 30 =...»

(Легче сначала сложить 6 и 4 - это 10, затем прибавить к 10 число 3, получится 13.

Легче сначала сложить 30 и 60 - это 90, затем прибавить к сумме 7, будет 97.

Для случая 90 - 70 + 5 правило группировки слагаемых неприменимо, поскольку это выражение содержит сложение и вычитание. В этом выражении действия надо выполнять по порядку слева направо.

Для случая 30 + 8 + 30легче сначала сложить 30 и 30, будет 60, а затем прибавить к сумме 8 - это 68.)

Б) Правило сложения и вычитания разрядных единиц

Следствием правила группировки слагаемых выступают два следующих правила, определяющих способ сложения и вычитания разрядных единиц:

Единицы складывают с единицами. Десятки складывают с десятками.

Например, для случая 86 + 2 = 80 + (6 + 2) = 88 удобно единицы складывать с единицами; для случая 50 + 47 = (50 + 40) + 7 = 97 удобно десятки складывать с десятками.

В обоих случаях одно из слагаемых представлено в виде суммы разрядных слагаемых и выполняется прибавление числа к сумме разрядных слагаемых. А. В. Белошистая отмечает, что в более ранних вариантах учебников математики для начальных классов правило прибавления числа к сумме и правило прибавления суммы к числу изучалось в явном виде (правило сообщалось детям и заучивалось как основа вычислительного приема).

Первое правило звучало так:

Чтобы прибавить число к сумме, можно прибавить его к любому слагаемому, а затем к полученной сумме прибавить оставшееся слагаемое.

Второе правило формулировалось так:

Чтобы прибавить сумму к числу, можно прибавлять к этому числу любое слагаемое суммы, а затем к полученному результату прибавить оставшееся слагаемое.

Правила были сочтены громоздкими и их заменили формулировками, сориентированными на поразрядное сложение. Однако для случаев вида 26 + 7 или 45+16 приходится использовать именно эти правила, а не правила поразрядного сложения.

Аналогичное упрощенное правило вводится для вычитания:

Десятки вычитают из десятков. Единицы вычитают из единиц.

Например, для случая 47 - 5 = 40 + (7 - 5) = 42 удобно единицы вычитать из единиц; а для случая 78 - 50 = (70 - 50) + 8 = 28 удобно десятки вычитать из десятков.

Однако для случаев вида 30 - 6, 45 - 7, 50 - 24 эти правила приходится неявно заменять общими правилами вычитания числа из суммы и вычитания суммы из числа. Как отмечает А.В. Белошистая, сами правила уже не рассматриваются в последней редакции учебника математики, но использовать их при вычислениях приходится. В связи с этим большая часть вычислительных приемов первой сотни предлагается школьникам в виде разбора образцов действий, а затем закрепления каждого способа действия на аналогичных примерах.

Правило вычитания числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из любого слагаемого, а затем к результату прибавить оставшееся слагаемое.

Например:

30 - 6 = <30 это 20 + 10, используя правило вычитания числа из суммы, запишем> = 20 + (10 - 6) = 20 + 4 = 24.

В данном случае уменьшаемое 30 рассматривается как сумма 20 и 10.

Правило вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа любое слагаемое, а затем из полученного результата вычесть другое слагаемое.

Например: 45 - 7 = < 7 это 5 и 2, поэтому сначала вычтем 5, а потом 2> = (45 - 5) - 2 =

40 - 2 = 38.

В данном случае вычитаемое 7 рассматривается как сумма чисел 5 и 2.

Таким образом, в начальной школе учащихся знакомят с небольшим количеством свойств. Например: для сложения: переместительное свойство (перестановка) и сочетательное свойство (но в неявном виде, даже название этому свойству не дается).

Все названные свойства даются не ради свойств, а для использования их в рациональных вычислениях. Кроме того, они являются теоретической основой вычислительных приемов.

Для усвоения этих свойств учащиеся правил не заучивают (тем более дома). Если при выполнении упражнения: «Сравни, не вычисляя: 6 + 8 и 8 + 6», младший школьник сказал: «Применим переместительное свойство...», можно сделать вывод, что материал он понял.

Или другой пример: 7 + 8+3. «Трудно сложить 7 и 8, легче - 7 и 3». Таким образом, если в подобных случаях ученик использует переместительное и сочетательное свойства, то он понимает смысл этих свойств.

Итак, свойства арифметических действий в начальной школе применяются при выполнении и обосновании вычислений, используются для рационального способа решения задач.