4.1.2. Вычислительные приемы для чисел второго десятка

А) Нумерационные (разрядные) случаи сложения и вычитания

Нумерационными или разрядными случаями сложения и вычитания во втором десятке считаются случаи вида:

10 + 2. 2 + 10 12 - 2 12 - 10

При нахождении значения данных выражений ссылаются на разрядный (десятичный) состав чисел второго десятка. Например:

12 – это 10 и 2, значит, 12 - 10 = 2, 10 + 2 = 12

12 – 2 = 10, 2 + 10 = 12

Комплексные примеры на применение знания разрядного состава и вычислительных приемов первого десятка:

Вычисли: 2 + 8 + 3 =

Способ вычислений:

Действия выполняются последовательно слева направо. 2 + 8 = 8 + 2 = 10 по свойству перестановки слагаемых. Далее 10 + 3 = 13, значит 2 + 8 + 3 = 13

Вычисли: 16 - 6 - 1=

Способ вычислений:

Действия выполняются последовательно слева направо. Число 16 состоит из 10 и 6, значит 16 - 6 = 10. Вычитая из 10 один, получаем число предыдущее - это 9.

Б) Сложение с переходом через десяток

В начальном обучении математике прием сложения однозначных чисел с переходом через десяток включает следующие операции:

1. первая операция связана с дополнением большего слагаемого до числа 10;

2. вторая - связана с представлениями учащихся о смысле действий сложения и вычитания и с усвоением ими состава однозначных чисел. Опираясь на эти знания, учащиеся отвечают на вопрос - сколько единиц осталось во втором слагаемом после того, как выполнена первая операция;

3. третья операция - оставшиеся единицы второго слагаемого прибавляются к числу 10.

. Этот прием можно представить в виде тождественных преобразований:

8 + 5 = 8 + (2 + 3) = (8 + 2) + 3 = 10 + 3 = 13,

при выполнении которых, используется сочетательное свойство сложения или правило прибавления суммы к числу.

Но практика показывает, что большинство семилетних детей с трудом выполняют такую громоздкую запись, поэтому целесообразнее использовать другие формы записей. Например:

8 + 5

^

2 и 3, тогда 8+2+3 = 13

Число 2 показывает, какое число нужно прибавить к 8, чтобы получить 10. Число 3 - сколько единиц нужно прибавить к 10.

Теоретическая основа – конкретный смысл операции сложения.

При объяснении целесообразно использовать наборное полотно. Выставляем на наборное полотно 8 кружков, берем еще 5 кружков контрастного цвета, добавляем два кружка в первую строку (до 10), а остальные 3 кружка размещаем на второй строке.

Для овладения приемом школьник должен:

1) запомнить последовательность действий;

2) уметь быстро подбирать подходящий случай разложения любого однозначного числа на составные части (знать состав однозначных чисел);

3) уметь дополнять любое однозначное число до 10 (знать состав числа 10);

4) уметь выполнять разрядное сложение в пределах второго десятка. Это сложный прием вычислений. В качестве внешней опоры можно использовать линейку. Или счеты.

Пользуясь вычислительным приемом, дети постепенно составляют таблицу сложения в пределах 20. Затем все рассмотренные случаи сводятся в общую таблицу, которую учащиеся должны прочно усвоить. В таблице 20 случаев. Она включает сложение одинаковых слагаемых: 6 + 6, 7 + 7, 8 + 8, 9 + 9 и случаи прибавления меньшего числа к большему числу. Для прибавления большего числа к меньшему числу используется переместительное свойство сложения.

А.В. Белошистая отмечает, что школьники с ведущий кинестетикой, используют пальцевый счет. В этом случае они присчитывают к первому слагаемому единицы, пока хватает пальцев (до 10), а затем, мысленно запоминая полученный десяток, продолжают присчитывать оставшуюся часть второго слагаемого уже к десятку.

В настоящее время на первый план в педагогике начального обучения выходят требования организации личностно-ориентированного обучения, это означает, что в обучающем процессе необходимо учитывать своеобразие и индивидуальность способа мышления и ведущего способа познания каждого школьника. Дети с превалирующей функцией аналитического мышления легко осваивают этот прием, требующий пошагового выполнения трехступенчатого действия в уме. Дети с превалирующей функцией синтетического мышления осваивают прием с большими трудностями. В некоторых альтернативных учебниках математики для начальных классов (например, в учебнике Н.Б. Истоминой) предлагается знакомить детей с приемом сложения с переходом через десяток значительно позже. Авторы этих учебников считают, что знакомить учащихся с названным приемом следует только после того, когда они освоят всю нумерацию в пределах 100 и научатся выполнять все виды вычислений без перехода через десяток, в том числе и вида 64 + 12.

Ставится задача довести умение ребенка выполнять вычисления во втором десятке до автоматизма. Это означает, что учитель, как правило, ставит задачу - выучить результаты всех случаев сложения и вычитания в пределах второго десятка наизусть. С этой целью в учебнике на каждом уроке этой темы (начало второго класса) дается по три случая для заучивания наизусть. Например: 9 + 2 = 11, 9 + 3 = 12, 8 + 3 = 11.

Всего случаев, требующих запоминания 20. Во всех этих случаях второе слагаемое меньше, чем первое (в случае, когда второе слагаемое больше первого, можно применить перестановку слагаемых).

9 + 2 = 11 9 + 3 = 12 8 + 3 = 11

7 + 4 = 11 8 + 1 = 12 9 + 4 = 13

9 + 5 = 14 8 + 5 = 13 7 + 5 = 12 6 + 5 = 11

9 + 6 = 15 8 + 6 = 14 7 + 6 = 13 6 + 6 = 12

9 + 7 = 16 8 + 7 = 15 7 + 7 = 14

8 + 8 = 16 5 + 8 = 17 9 + 9 = 18

В качестве приема, помогающего некоторым детям быстрее запомнить результаты этих вычислений, можно использовать прием опоры на сумму одинаковых слагаемых, так как сумма одинаковых слагаемых запоминается детьми значительно легче, чем сумма разных слагаемых.

Например, легко запоминается сумма 5 + 5 = 10. Рассматривая любую сумму, в которой одно из слагаемых - число 5 и зная свойство суммы:

При увеличении любого слагаемого на несколько единиц, сумма увеличивается на столько же единиц.

Можно получить значение соответствующего выражения: 7 + 5 = 5 + 5 + 2 = 10 + 2 = 12

Учащиеся легко запоминают суммы:

6 + 6 = 12 7 + 7 = 14

8 + 8 = 16 9 + 9 = 18

Используя их как «базовые», школьник может получить нужный результат вычисления, присчитывая соответствующее количество единиц к сумме или отсчитывая: 7 + 9 = 7 + 7 + 2 = 14 + 2 = 16.

В) Вычитание с переходом через десяток

Для вычитания однозначного числа из двузначного (в пределах 20, с переходом через десяток) обычно используются два вычислительных приема. По своей сути они оба знакомы учащимся.

В состав первого приема, который называют отсчитыванием по частям, входят операции:

1. вычитание из данного двузначного числа его разрядных единиц (в результате выполнения этой операции всегда получается число 10);

2. представление вычитаемого в виде суммы слагаемых, одно из которых равно количеству разрядных единиц двузначного числа (в основе этой операции лежит знание состава однозначных чисел);

3. вычитание из 10 второго слагаемого этой суммы.

13 – 5 = 13 - (3 + 2) = 13 – 3 – 2 = 8.

Теоретическая основа – конкретный смысл вычитания, удаление части множества.

В основе второго приема лежит понятие о взаимосвязи суммы и слагаемых и прочное знание таблицы сложения в пределах 20.

В состав этого приема входят операции:

1. представление уменьшаемого в виде суммы двух слагаемых, одно из которых равно вычитаемому;

1. вычитание из данной суммы слагаемого, равного вычитаемому; в основе этой операции лежит правило: если из суммы вычесть одно слагаемое, то останется другое.

Теоретическая основа – взаимосвязь между сложением и вычитанием или нахождение неизвестного слагаемого. Объясняются оба приема, преимущество отдается второму.

Схема приема: 14 - 9 = < 9 это 4 и 5. Из 14 вычесть 4 будет 10. И от 10 отнять 5 будет 5> = 5.

Алгоритм приема (правило вычислений) содержит три последовательно выполняемых вычислительных действия:

1) вычитаемое раскладывается на составные части таким образом, чтобы одна из частей при вычитании из уменьшаемого составила число 10;

2) из уменьшаемого вычитается часть вычитаемого, образуя промежуточное число 10;

3) из промежуточного числа 10 вычитается оставшаяся часть вычитаемого для получения окончательного ответа.

Для овладения приемом ребенок должен:

1) запомнить последовательность действий;

2) уметь быстро подбирать подходящий случай разложения любого однозначного числа на составные части (знать состав однозначных чисел);

3) уметь выполнять разрядное вычитание в пределах второго десятка;

4) уметь вычитать любое однозначное число из 10 (знать состав числа 10).

Если учащиеся испытывают трудности при освоении этого сложного приема для вычислений, то можно им порекомендовать использовать линейку. Школьник отмечает уменьшаемое, а затем делает влево от него нужное количество «шагов» (в соответствии со значением вычитаемого). Результат последнего «шага» совпадает со значением разности. Аналогично можно использовать счеты.

Некоторые дети (кинестетики) используют пальцевый счет и при выполнении вычитания во втором десятке.

Другая схема выполнения вычитания с переходом через десяток: 1.4 - 6 = <14 это 7 и 7. Из одной семерки вычтем 6, останется 1. Да еще 7, будет 8> = 8.

Алгоритм приема (правило вычислений) и в этом случае содержит три последовательно выполняемых вычислительных действия:

1) уменьшаемое раскладывается на разрядные составляющие;

2) от десятка уменьшаемого отнимается вычитаемое, которое всегда меньше 10, образуя промежуточное число;

3) промежуточное число складывается с оставшейся частью уменьшаемого для получения окончательного ответа.

Для овладения этим приемом школьник должен:

1) запомнить последовательность действий;

2) уметь раскладывать числа второго десятка на разрядные составляющие;

3) уметь выполнять вычитание в пределах 10;

4) уметь складывать однозначные числа в пределах 10.

Перечень действий содержит такое же количество шагов, как и в случае первой схемы, но многим учащимся использовать этот способ легче, так как он не требует мысленного подбора подходящего разложения на составные части вычитаемого. Логика действий здесь последовательная, больше соответствует синтетическому стилю мыслительной деятельности, поэтому часть детей осваивает этот способ значительно легче, чем первый.

В целом таблица вычитания с переходом через десяток содержит 36 вычислительных случаев, которые учащиеся должны запомнить. С этой целью учитель может порекомендовать прием опоры на значения сумм одинаковых слагаемых, этот же прием можно использовать при выполнении вычитания.

Г) Порядок действий в выражениях со скобками

Правило выполнения действий в выражениях со скобками изучается вторым. С ним учащиеся знакомятся во втором классе:

«Действие, записанное в скобках, выполняется первым».

Правило сообщается детям в качестве факта и путем сравнения разных вариантов значений выражений, показывается, что нарушение этой установки ведет к получению неправильных результатов. Например: (10 - 6) + 3 = 7 10 - (6 + 3) = 1

Никаких нарушений этого правила во втором классе не допускается.

В первом приведенном выше примере скобки не играют никакой роли и могут быть опущены. Во втором выражении наличие скобок меняет порядок действий, оговоренный ранее, и требует первым выполнить сложение, т. е. в этом случае скобки имеют значение.

Чтобы у школьников создать стереотип восприятия скобок, учитель обычно настаивает на приучении детей к жесткому соблюдению этого правила во всех случаях. Так, для выполнения вычислений вида 8 + (2 + 4) также жестко требуется выполнение действия в скобках первым, хотя технически было бы проще использовать группировку слагаемых, тем более что математически порядок действий при последовательном сложении безразличен.

Установка на приоритетность выполнения действия в скобках сохраняется на весь период обучения ребенка в начальной школе. В третьем и четвертом классе дети изучают еще несколько правил порядка выполнения действий и вычислительных операций, основанных на приоритетности выполнения действий в скобках.