3. Контрольные вопросы

1. Какую запись называют математическим выражением?

2. Назовите вычислительные приемы, которые используются для чисел первого десятка.

3. Назовите вычислительные приемы для чисел второго десятка.

4. Какие математические законы и правила используются для вычислений в начальной школе?

5. Назовите типы вычислительных приемов в пределах 100, которые учащиеся начальной школы должны усвоить.

6. Чем отличаются письменные вычисления от устных вычислений?

7. Какие математические законы и правила используют младшие школьники при сложении и вычитании в концентре 1000?

8. Что такое умножение?

9. Какие случаи умножения называются табличными?

10. Назовите приемы запоминания таблицы умножения.

11. Дайте характеристику действию деления.

12. Какие случаи деления называют табличными?

13. Назовите известные Вам приемы запоминания таблицы деления.

14. Какие особые случаи умножения и деления Вы знаете?

15. На какие математические законы и правила опираются младшие школьники при внетабличном умножении и делении в пределах 100?

16. Какие приемы внетабличного умножения и деления в пределах 100 рассматриваются в начальной школе?

17. Какие вы знаете признаки делимости?

18. С какой целью в начальной школе изучается деление с остатком?

19. Назовите приемы устных вычислений умножения и деления трехзначных и многозначных чисел.

20. Какие математические правила и законы используют младшие школьники при умножении и делении в столбик?

21. Какие ошибки могут делать учащиеся при умножении круглых чисел?

22. Как узнать, сколько цифр будет в частном?

23. Какие Вы знаете приемы рациональных вычислений?

4. Краткое содержание вопросов плана

4.1. Вычислительные приемы сложения и вычитания чисел первого и второго десятка

4.1.1. Основные понятия

В курсе математики начальной школы изучаются четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление. В первом классе дети знакомятся со сложением и вычитанием, во 2 - с умножением и делением.

Сложение и вычитание называют действиями первой ступени. Умножение и деление называют действиями второй ступени.

Символ сложения - знак «+» (плюс), символ вычитания - знак «-» (минус). Символ умножения - знак «х», который на письме часто заменяется точкой, стоящей в центре клетки «•». Символ деления - знак «:». В старших классах в качестве символа деления используют также горизонтальную черту (в печатных текстах часто заменяемую на наклонную черту), рассматривая запись вида ³ / ₅, 1 / 2 как запись деления.

Особенностью изучения учащимися каждого из действий является то, что оно строится по одному плану:

1) ознакомление со смыслом действия;

2) знакомство с терминологией: с названием знака действия, его компонентов и результата;

3) ознакомление со свойствами действия;

4) усвоение связи между действиями.

Каждое действие должно связаться в сознании детей с теми конкретными задачами, которые требуют применения этого действия. Смысл каждого арифметического действия раскрывается на основе практических действий над множествами предметов и с помощью специально подобранных текстовых задач (по С.И. Шохор - Троцкому (19 век) - «целесообразно подобранные задачи»).

При истолковании смысла действий сложения и вычитания в одних учебниках математики нашел отражение теоретико-множественный подход в различных методических интерпретациях, в других лежит выполнение учащимися предметных действий и их интерпретация в виде графических и символических моделей.

В первом случае в качестве основной цели выступает решение простых задач, а во втором - осознание предметного смысла числовых выражений и равенств.

С теоретико-множественной точки зрения сложению соответствуют такие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов) как объединение и увеличение на несколько элементов либо данной совокупности, либо совокупности, сравниваемой с данной. Прежде чем знакомиться с символикой записи действий и вычислениями результатов действий, ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов учителя, уметь показывать руками, как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

Задания, которые ребенок должен научиться выполнять по словесному описанию педагога, до знакомства с символикой действия сложения подобны следующим:

1. Возьми три карандаша и две ручки (наглядность). Положи их в пенал. Как узнать, сколько их вместе? (Надо сосчитать.)

2. В холодильнике лежит 2 сырка и 3 котлеты. Обозначь котлеты кружками, сырки квадратиками. Покажи сколько их вместе.

Сосчитай.

3. Из автобуса вышли 3 мальчика и 1 девочка. Обозначь их фигурками и покажи, сколько всего детей вышло из автобуса. Сосчитай.

Все три ниже предлагаемые ситуации моделируют объединение двух множеств.

1. У Ани 3 конфеты. Обозначь конфеты четырехугольниками. Ей дали еще, и у нее стало на 2 больше. Что надо сделать, чтобы узнать, сколько у нее теперь конфет? (Надо 2 добавить.) Сделай это. Сосчитай результат.

2. У Коли было 2 игрушечных грузовика. Обозначь грузовики квадратами. И столько же легковых машин. Обозначь легковые машины кружками. Сколько ты поставил кружков? Ему подарили еще три легковые машины. Каких машин теперь больше? Обозначь их кружками. Покажи, на сколько легковых машин стало больше.

3. В одной коробке 4 камешка, а в другой на 2 больше. Обозначь камешки из первой коробки зелеными палочками, камешки из второй коробки - красными палочками. Покажи, сколько камешек в первой коробке, сколько во второй, и какой коробке камешек больше? В какой коробке меньше? На сколько камешек меньше?

Эти три ситуации моделируют увеличение на несколько единиц данной совокупности, или совокупности, сравниваемой с данной совокупностью.

Символически данные ситуации описываются с помощью действия сложения: 4 + 2 = 6.

Действию вычитания соответствуют четыре вида предметных

действий:

а) удаление части совокупности (множества);

б) уменьшение данной совокупности на несколько единиц;

в) уменьшение на несколько единиц совокупности, сравниваемой с данной;

г) разностное сравнение двух множеств.

Приведем задания, которые ребенок должен научиться выполнять по словесному описанию педагога до знакомства с символикой действия вычитания:

1. У Ромы было 7 картинок с раскрасками. Обозначь картинки квадратиками. Пришел маленький брат и раскрасил две картинки. Что надо сделать, чтобы это показать? Покажи, сколько нераскрашенных картинок осталось у Ромы.

2. У мамы было 6 пуговиц. Обозначь их кружками. Несколько пуговиц она пришила, и у нее пуговиц стало на 4 меньше. Что надо сделать, чтобы это показать? Почему ты убрал 4 кружка? (Стало на 4меньше.) Покажи оставшиеся пуговицы. Сколько их?

3. У жука 6 ног. Обозначь количество ног жука красными палочками. А у собаки ног на 2 меньше. Обозначь количество ног собаки зелеными палочками. Покажи, у кого ног меньше. У кого ног больше? На сколько ног больше?

4. На одной полке стоит 3 чашки. Обозначь чашки кружками. А на другой полке - 7 стаканов. Обозначь стаканы квадратиками. Поставь кружки и квадратики так, чтобы сразу было видно, чего больше - стаканов или чашек. Чего меньше? На сколько?

Следующие задания приведены в соответствии с видами предметных действий, указанных выше.

Символически данные ситуации описываются с помощью действия вычитания: 7 - 3 = 4.

После того, как ребенок научится понимать на слух и моделировать все означенные виды предметных действий, его можно знакомить со знаками действий. А.В. Белошистая указывает, что на этом этапе последовательность указаний педагога такова:

1) обозначьте то, о чем говорится в задании кружками (палочками и т. п.);

2) обозначьте указанное число кружков (палочек) цифрами;

3) поставьте между ними нужный знак действия. Например:

В вазе 4 розы белых и 3 красных. Обозначьте цифрами число белых роз и число красных роз. Какой знак нужно поставить в записи, чтобы показать, что все розы стоят в одной вазе!

Составляется запись: 4 + 3.

Такую запись называют - «математическое выражение». Она характеризует количественные признаки ситуации и взаимоотношения рассматриваемых совокупностей.

Запись вида 3 + 4 = 7 называют равенством. Не стоит сразу ориентировать ребенка на получение полного равенства с записью значения выражения:

.3 + 4 = 7 это равенство

7 – это значение выражения

Прежде чем переходить к равенству, полезно предложить детям задания:

а) на соотнесение ситуации и выражения (подбери выражение к данной ситуации или измени ситуацию в соответствии с выражением - ситуация может быть изображена на картинке, нарисована на доске, смоделирована на фланелеграфе);

б) на составление выражений по ситуациям (составь выражение в соответствии с ситуацией).

После того, как дети научатся правильно выбирать знак действия и объяснять свой выбор, можно перейти к составлению равенства и фиксированию результата действия.

В стабильном учебнике математики действия сложения и вычитания изучаются одновременно. В некоторых альтернативных учебниках (И.И. Аргинская, Н.Б. Истомина) сначала изучается сложение, а затем - вычитание.

Выражение вида 3 + 5 называют суммой.

Числа 3 и 5 в этой записи называют слагаемыми.

Запись вида 3 + 5 = 8 называют равенством. Число 8 называют значением выражения. Поскольку число 8 в данном случае получено в результате суммирования, его также часто называют суммой.

Например:

Найдите сумму чисел 4 и 6. (Ответ: сумма чисел 4 и 6 — это 10.)

Выражение вида 8 - 3 называют разностью.

Число 8 называют уменьшаемым, а число 3 — вычитаемым.

Значение выражения - число 5 также могут называть разностью.

Например:

Найдите разность чисел 6 и 4. (Ответ: разность чисел 6 и 4 - это 2.)

Так как детям сообщаются названия действий и их просто необходимо запомнить, то педагог активно использует задания, требующие распознавания компонентов действий и употребления их названий в речи. Например:

Среди данных выражений найдите такие выражения, в которых первое слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое) равно 3:

3 + 2; 7 - 3; 6 + 3; 8 + 1; 3 + 5; 3 - 2; 7 - 3; 3 + 4; 3 - 1.

Подобных заданий, имеющих эту цель в учебниках математики множество.

При знакомстве с терминологией практически все учителя опираются на опыт

С.Н. Лысенковой. Она на глазах детей рядом с доской вывешивает плакат с названием компонентов действия. Этот плакат находится там до тех пор, пока все учащиеся не усвоят изучаемые компоненты этого действия.

Во 2 классе дети знакомятся с правилами проверки результатов действий сложения и вычитания.

Сложение можно проверить вычитанием: 37 + 6 = 43. Проверка: 43 – 6 = 37.

Из суммы вычли одно слагаемое, получили другое слагаемое. Значит, сложение выполнено, верно.

Данное правило применимо к проверке действия сложения в любом концентре (при проверке вычислений с любыми числами).

Вычитание можно проверить сложением: 91 – 7 = 84. Проверка: 84 + 7 = 91.

К разности прибавили вычитаемое, получили уменьшаемое. Значит, вычитание выполнено, верно.

Данное правило также применимо к проверке действия вычитания с любыми числами.

В 3 классе дети знакомятся с правилами взаимосвязи компонентов сложения и вычитания. Эти правила являются обобщением представлений ребенка о способах проверки сложения и вычитания:

Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое.

Если сложить разность и вычитаемое, то получится уменьшаемое.

Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое. Данные правила являются основой для подготовки к решению уравнений, которые в начальной школе решаются с опорой на правило нахождения соответствующего неизвестного компонента равенства.

Например:

Решите уравнение 33 — Х. = 17.

В уравнении неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность: х = 33 - 17, Х. = 16.