4.16. Простые задачи с пропорциональными величинами

В содержание простых задач, решаемых умножением и делением, могут входить разнообразные величины. Например: стоимость, масса и цена; стоимость, количество и цена; скорость, время и путь; норма ткани на одно изделие, количество одинаковых изделий и расход ткани, и т. п.

Содержание простых задач, в которые, например, входят цена, количество и стоимость, можно представить в виде следующей таблицы:

Таблица 4

Цена тетради в рублях	Количество тетрадей	Стоимость этих тетрадей в рулях
2	4	?
2	?	8
?	4	8

Из таблицы видно, что по указанным данным можно составить три взаимно обратные задачи:

- на нахождение стоимости покупки (умножением);

- на нахождение количества купленных тетрадей (делением);

- на нахождение цены товара (делением).

Составить подобные задачи и затем решить их можно только при условии, что предметы и цена каждого из них одинаковы.

Примечание: понятия прямой пропорциональности и обратной пропорциональности см. в теме «Величины».

Пропедевтикой к решению подобных задач могут служить таблицы вида:

Таблица 5

Количество тетрадей	1	2	3	4	5
Стоимость	2	4	6	8	10

17. Составные задачи в начальной школе:

На начальном этапе – это задачи, которые включают различные сочетания простых задач. Ниже покажем последовательность их изучения.

А) Решение большинства из них связано со свойствами арифметических действий (прибавление суммы к числу, прибавление числа к сумме, вычитание числа из суммы, вычитание суммы из числа).

Б) Позднее появляются задачи, содержащие все 4 действия.

В) Далее изучаются задачи на пропорциональную зависимость между величинами в одно и два действия.

Г) Задачи с прямо пропорциональной зависимостью 1 – 1У видов (см. таблицу) изучающихся на следующих группах величин:

- цена, количество стоимость;

- масса одного предмета, количество предметов, общая масса;

- емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость;

- выработка в единицу времени, время работы, выработка;

- расход материи на 1 вещь, количество вещей, общий расход материи.

Д) Задачи на нахождение четвертого пропорционального рассматриваются на следующих группах величин:

- скорость время, расстояние;

- длина, ширина, площадь;

- урожайность, площадь, весь урожай.

Таблица 6

Задачи на нахождение четвертого пропорционального

Зависимость	№ п /п	Цена	Количество	Стоимость	Пример задачи
Прямая пропорциональность	1	одинаковая	Даны два значения	Дано одно значение, а другое надо найти	За 2 кг моркови уплатили 30 рублей. Сколько стоят 6 кг моркови по той же цене?
	2	одинаковая	Дано одно значение, а другое надо найти	Даны два значения	За 6 кг моркови уплатили 90 рублей. Сколько моркови по той же цене можно купить на 30 рублей?
	3	Даны два значения	одинаковая	Дано одно значение, а другое надо найти	За кусок льняного полотна по 20 рублей за 1 метр уплатили 80 рублей. Сколько надо уплатить за шелк той же длины, по цене 40 рублей?
	4	Дано одно значение, а другое надо найти	одинаковая	Даны два значения	За кусок шелка по цене 40 рублей за метр уплатили 160 рублей, а за кусок льна той же длины уплатили 80 рублей. По какой цене покупали льняное полотно?
Обратная пропорциональность	5	Даны два значения	Дано одно значение, а другое надо найти	одинаковая	За шесть детских костюмов ценой 120 рублей уплатили столько же, сколько за детские пальто, ценой по 360 рублей. Сколько купили пальто?
	6	Дано одно значение, а другое надо найти	Даны два значения	одинаковая	За два пальто ценой по 360 рублей уплатили столько же, сколько за 6 детских костюмов. Какова цена костюма?

Задачи на нахождение четвертого пропорционального решаются в два действия. Краткая запись таких задач может быть следующей: (см. таблицу).

Таблица 7

Цена моркови в рублях	Количество купленной моркови	Стоимость купленной моркови
одинаковая	2	30
	6	?

По существу в содержание этих задач входят три величины: цена, количество, стоимость. При решении задачи I применяется следующее рассуждение: «Если известно, что 2 кг стоят 30 рублей, то можно узнать, сколько стоит I кг моркови. Когда это будет известно, то можно будет узнать стоимость 6 кг моркови».

При решении задачи 2 сначала узнаем, сколько стоит I кг моркови (ее пену), а затем по указанной стоимости и цене, можно найти, сколько моркови можно купить.

При решении задачи 3 сначала отвечают на вопрос: Какова длина куска полотка льна? Второй вопрос - это вопрос задачи. Подобные рассуждения проводятся и для задач 4, 5, 6.

При решении задач на нахождение четвертого пропорционального, если числовые значения кратны, применяется способ нахождения отношения. Он заключается в том, что находят отношение двух значений одной величины, затем увеличивают или уменьшают во столько же раз известное значение другой величины. Например, рассмотрим соответствующее решение задачи 1.

1. Во сколько раз, количество моркови, которое нужно купить, больше количества купленной моркови?

2. Вопрос задачи.

Мы проанализировали математическое содержание задач с величинами цена, количество, стоимость. Можно составить задачи, содержание которых будут входить другие группы величин.

Е) Задачи на пропорциональное деление (в начальной школе рассматривается только способ нахождения значения постоянной величины).

Основным признаком этих задач является содержащееся в них требование распределить одно числовое значение величины (например, стоимости) пропорционально данным числам (например, числу предметов в одной совокупности, числу предметов другой совокупности). Приведем строение этого типа задач в следующей таблице.

Таблица 8