Передаточное отношения для таких механизмов равно

i₁₂^(h) =(₁-_h)/ (₂-_h) =(n₁-n_h)/ (n₂-n_h), (2.26)

где ₁, ₂, ₃, _h – угловые скорости центральных колес, сателлита и водила. Вышеприведенная формула носит название формулы Виллиса для дифференциалов.

В механизмах приводов реальных машин колеса могут располагаться последовательно ступенчато и по планетарному принципу.

Одноступенчатые цилиндрические и конические передачи используют обычно при передаточном отношении i7. При больших значениях i целесообразно применять передачи со скрещивающимися осями и многоступенчатые передачи различной комбинации как с подвижными, так и с неподвижными осями.

2.4. Синтез зубчатых передач с эвольвентным профилем

Зубчатые передачи по форме профиля зуба могут быть: эвольвентные, круговые, циклоидные и т.д. Наибольшее распространение получили передачи с эвольвентным зацеплением,в которых использованы сопряженные зубья с профилем, выполненным по эвольвенте.

Эвольвента- это кривая, геометрическое место центров кривизны которой, представляет собой другую кривую - эволюту. Касательные к эволюте являются нормалями к эвольвенте.

Эвольвента может быть построена обкатыванием по эволюте без скольжения отрезка прямой. Для круглых колес эволютой является окружность с радиусом rв, и эвольвенту, в этом случае, называют эвольвентой окружности (Рисунок 2.26).

Рисунок 2.26 - Образование эвольвенты профиля зуба

Любая точка на эвольвенте окружности характеризуется радиусом r и углом , которые равны:

r= r_b cos , (2.27)

= tg  - . (2.28)

Величину tg  - называют эвольвентным углом профиля зуба и обозначают

inv  (инволюта ).

Выражения 2.27 и 2.28 называются уравнениями эвольвенты зуба.

Окружность, развертка которой является теоретическим торцовым профилем зуба эвольвентного цилиндрического зубчатого колеса называют основной окружностью. Это эволюта с радиусом r_b, инволюта которой равна нулю.

На рисунке 2.27 представлен зуб, профиль которого очерчен по эвольвенте.

Рисунок 2.27 - Эвольвентный зуб

Из рисунка следует равенство суммы углов

₁+₁=₂+₂, (2.29)

где ₁=inv₁, ₂=inv₂, ₁=s₁/(2r₁), ₂=s₂/(2r₂).

С помощью этого выражения можно получить соотношение толщины зуба по различным окружностям

s₂ =2r₂ [s₁/(2r₁)+ inv₁- inv₂]. (2.30)

Для основной окружности inv_b=0, поэтому толщина зуба s _b равна

s_b=2r_b[s₁/(2r₁)+ inv₁]. (2.31)

Для окружностей заострения зубьев s =0, поэтому

inv₀ =s₁/(2r₁)+ inv₁= s_b /(2r_b), s_b /(2r_b)= s₁/(2r₁)+ inv₁. (2.32)

Одноименные профили расположены на расстоянии шага по основной окружности p_b, который равен

p_b = 2r_b / z , (2.33)

где z – число зубьев колеса.

Шаг p любой окружности радиуса r равен

p =p_b / cos . (2.34)

Схема образования зубчатого зацепления с эвольвентным зубом представлено на рисунке 2.28.

Рисунок 2.28 - Схема образования эвольвентного зацепления

Нормаль nn к сопряженным профилям звеньев, образующих зацепление, касается их основных окружностей в точках А и В и проходит через мгновенный центр вращения в относительном движении звеньев, который называют полюсом зацепления W.

При вращении круглых колес полюс зацепления сохраняет неизменным свое положение. Точка контакта К перемещается в направлении vк по линии АВ, которая является собой линию зацепления. Таким образом, в эвольвентном зацеплении имеет место прямая линия зацепления

Угол w между линией зацепления и перпендикуляром к линии, соединяющей центры вращения О1 и О2 называется углом зацепления. Он равен углу давления в полюсе зацепления и характеризует направление силы, действующей со стороны одного колеса на другое.

Окружность, которая проходит через полюс зацепления называется начальной.

Радиусы начальных и основных окружностей связаны зависимостями:

rw1=r_в1 cos _w , ( 2.35)

rw2=r_в2 cos _w . (2.36)

Расстояние между центрами вращения (межосевое расстояние) аw равно

аw= rw1+ rw2 =(r_в1 + r_в2) cos w . (2.37)

Отношение радиусов начальных окружностей сопряженных колес определяет передаточное отношение

i12 = -rw2 rw1 = r_в2 r_в1 =1/ 2. (2.38)

Это означает, что отношение угловой скорости одного звена (1) к угловой скорости другого звена (2) равно отношению радиусов основных окружностей. Из этого следует, что при постоянных r_в1 и r_в2 если изменить межосевое расстояние аw, то изменятся радиусы rw1, rw2 и угол _w, а i12 останется тем же. Это свойство эвольвентного зацепления свидетельствует о том, что при погрешностях расположения осей с сохранением их параллельности, передаточное отношение остается постоянным (основной закон зацепления).

Часть профиля зуба, выступающая за начальную окружность называется головкой, а часть профиля зуба, которая находится внутри начальной окружности, называется ножкой зуба. Так как размеры зубьев колеса одинаковые, то все головки ограничиваются окружностями выступов d_a, а все ножки – окружностями впадин d_f.

Часть начальной окружности, которая проходит через зуб, называется его толщиной, а та часть начальной окружности, которая проходит через впадину, называется шириной впадины. Дуга начальной окружности, состоящая из одной толщины зуба и одной ширины впадины называется шагом зацепления р (мм), который связан с диаметром начальной окружности зависимостью

р=d_w/z, (2.39)

где z – количество зубьев на начальной окружности.

Отношение шага зацепления к числу  называется модулем зацепления m (мм)

m=р/. (2.40)

Модуль - величина стандартная (ГОСТ 9563 – 60, СТ СЭВ 310 – 76) и через него выражают размеры колес.

Параметры колес передач с эвольвентным зацеплением стандартизованы.

Форма и размеры зубьев устанавливаются по ГОСТ 13755 – 81, в котором описан исходный контур номинальной зубчатой рейки (рисунок 2.29).

Рисунок 2.29 – Исходный и рабочий контур зубчатой рейки по ГОСТ –13755 – 81

Для модуля более 1мм исходный контур имеет следующие характеристики: профильный угол =20; коэффициент высоты головки зуба h_a*=1; глубина захода h_l=2h_a*m; коэффициент радиального зазора с*=0,25; радиальный зазор с= с*m; радиус закругления у корня зуба r_f=0,4m;

На основании исходного контура строится рабочий контур, совпадающий с очертаниями впадин исходного контура и служащий для проектирования зуборезного инструмента.

Для колес с наклонным зубом рейки имеют параметры стандартного исходного контура в нормальном сечении (рисунок 2.30).

Рисунок 2.30 – Контур рейки с наклонным зубом

В рейке с наклонным зубом  различают величину шага в зависимости от вида секущей плоскости, в которой он рассматривается: торцевой шаг р_t; нормальный шаг р_n и осевой шаг р_x.

Вышеуказанным шагам соответствуют модули: торцовый m_t (m_t = р_t/); нормальный m_n (m_n=р_t/) и осевой m_x (m_x = р_x/), которые связаны между собой следующими зависимостями:

m_t=m_n/cos ; (2.41)

m_x=m_t/tg=m_n/sin. (2.42)

Угол профиля зуба _t (рисунок 2.30) определяют по формуле

_t =arctg (tg /cos ). (2.43)

Окружность, по которой перекатывается делительная прямая рейки при обработке, носит название делительной окружности колеса или начальной окружности обработки.

Фактическая величина начальных окружностей устанавливается после сборки колес.

Рисунок 2.31 – Зубчатое эвольвентное зацепление без смещения исходного контура

Основные размеры колес, у которых делительные окружности совпадают с начальными определяются по следующим зависимостям:

• диаметры делительной d и начальной d_w окружностей

d=d_w=mz/cos ; (2.44)

- высота головки зуба h_а

h_а =m; (2.45)

• диаметр окружности выступов d_а

d_а= d +2h_а = d+2m; (2.46)

• высота ножки зуба h_f

h_f=1,25 m ; (2.47)

• диаметр окружности впадин d_f

d_f = d-2h_f = d-2,5m. (2.48)

Начальные и делительные окружности колеса могут не совпадать. В этом случае

начальные и делительные плоскости производящей рейки также не совпадают (ри-

сунок 2.32).

Рисунок 2.32 - Зацепление зубчатого колеса с инструментальной рейкой

Расстояние между делительной и начальной плоскостями рейки называют смещением исходного контура. Отношение этого смещения к модулю (m_n=m) называется коэффициентом смещения x. С ростом x толщина зуба s_a дуге окружности d_a уменьшается и увеличивается у основания, а активный участок профиля зуба удаляется от основной окружности d_b. Диаметры основных d_b и делительных d окруж- ностей при этом не меняются .

На рисунке 2.33 изображено зацепление двух колес со смещением исходного контура

Рисунок 2.33 – Эвольвентная цилиндрическая передача со смещением