2.3. Синтез механизмов передачи вращательного движения.

Синтез механических передач зацеплением состоит в определении геометрических форм и размеров контактирующих звеньев, обеспечивающий требуемый характер относительного движения.

Параметры механизма устанавливаются по целевой функции, основанной на передаточной функции, которая отражает связь входных и выходных кинематических характеристик.

Реализация передаточной функции осуществляется сопряженными поверхностями. В случае передачи движения по высшей кинематической паре (линии или точке) контактирующие поверхности будут сопряжены, если вектор скорости относительного движения передающих звеньев в любой точке контакта находится в плоскости, касательной к ним и общая нормаль перпендикулярна вектору скорости.

В случае сопряжения пары звеньев с осями 1 и 2 (рисунок 2.20) их общей нормалью будет линия О₁О₂ (кратчайшее расстояние между осями вращения звеньев), которая проходит через точку W, являющейся мгновенным центром вращения.

Рисунок 2.20 – Cоотношения скоростей вращающихся звеньев, сопряженных по высшей кинематической паре

Положение мгновенного центра вращения устанавливает теорема о соотношении скоростей в высшей кинематической паре, в которой сказано что, нормаль в точке контакта двух звеньев, совершающих вращательное движение с угловыми скоростями ₁ и ₂ делит межосевое расстояние О₁О₂ на отрезки О₁W и О₂W, величины которых обратно пропорционально угловым скоростям этих звеньев

 ₁/ ₂=O₂W/ O₁W (2.12)

Через мгновенный центр вращения W и межосевую линию О₁О₂ проходит мгновенная ось вращения, которая параллельна вектору относительной угловой скорости .

Величина и направление вектора относительной угловой скорости устанавливается на основании теоремы сложения угловых скоростей

=₁ + ₂ (2.13)

Углы ₁ и ₂ , образованные осями 1 и 2 звеньев с мгновенной осью относительного движения соотносятся с отрезками О₁W и О₂W следующим образом

О₁W/ О₂W= tg₁/ tg₂ (2.14)

Передаточное отношение i механической передачи, состоящей из двух звеньев, при любом произвольном расположении осей в пространстве устанавливается на основании зависимостей

i₁₂= d₁/ d₂=₁/ ₂= О₂W/ О₁W= tg₂/ tg₁=sin₂/ sin₁ (2.15)

В случае, когда угловые скорости вращающихся звеньев направлены в одну сторону, передаточное отношение имеет знак «+», и знак « - », если угловые скорости направлены в противоположные стороны.

Передаточное отношение будет величиной постоянной в случае, когда угловые скорости ₁и  ₂ и углы ₁ и ₂ неизменны во времени.

Постоянство передаточного отношения является основным требованием для передач зацеплением.

Абсолютные скорости в точке контакта вращающихся элементов 1 и 2 должны иметь нормальные составляющие, равные между собой, чтобы не было интерференции (внедрения поверхностей друг в друга) или размыкания контактов.

Когда существует векторная разность скоростей в точке контакта элементов, она отождествляется со скоростью скольжения v_ск

v_ск=v₁₂=О₁О₂₁₂sin / (2.16)

В передачах с параллельными и пересекающимися осями скольжение практически отсутствует.

Геометрические места точек на плоскостях звеньев 1 и 2, приходящих в соприкосновение по линии центров называют центроидами относительного движения.

Перекатывание центроид без скольжения друг относительно друга будет воспроизводить передаточную функцию механизма.

В случае, когда нормаль проходит через одну и ту же точку линии центров, отношение угловых скоростей будет величиной постоянной, а центроиды в этом случае называют начальными окружностями.

Точку касания начальных поверхностей зубчатых колес передачи называют полюсом.

Сопряженные профили должны располагаться относительно центроид так, чтобы в любой точке контакта нормаль проходила через полюс зацепления.

Поверхности, которые описывает мгновенная ось относительного движения звеньев передачи в системе координат каждого из них называют аксоидными.

В случае, когда оси звеньев перекрещиваются в пространстве аксоидами в относительном движении будут однополостные гиперболоиды вращения (рисунок 2.21).

Рисунок 2.21 - Аксоиды звеньев со скрещивающимися осями

Нормаль к поверхности гиперболоидов пройдет через их оси вращения и движение можно передать только силами трения, прижимая звенья. Поэтому для передачи движения звеньям придают форму, при которой нормаль к поверхности не проходит через их оси вращения, а касательная плоскость проходит через векторы угловой и линейной скоростей. При этом образуются новые гиперболоиды, касание которых с аксоидными гиперболоидами происходит в точке, т.е. контакт звеньев будет точечным.

При точечном касании в качестве начальных поверхностей можно принимать не только гиперболоиды вращения, но более простые по своей форме поверхности. В частности, это могут быть круглые цилиндры, построенные у горловин гиперболоидов и касающиеся друг друга в точке, лежащей на линии кратчайшего расстояния между осями колес (А₁ и А₂ на рисунке 2..21) и образующие винтовую передачу, или конусы с несовпадающими вершинами, имеющие также точечный контакт (В₁ и В₂, В₁ и В₂ на рисунке 2.21) и образующие гипоидную передачу.

В этом случае радиусы начальных цилиндров зубчатых колес могут отличаться от радиусов горловин гиперболоидов и принимать любые значения при обязательном условии, что соблюдается соотношение

i=₁/₂=r_w2cos  _w2/ r_w1cos  _w1, (2.17)

где r_w1 и r_w2 – радиусы начальных поверхностей звеньев 1 и 2 соответственно;

cos  _w1 cos  _w2 – углы наклона линии зубьев звеньев 1 и 2 соответственно.

Замена одного из цилиндров с винтовой линией на цилиндрическое колесо позволяет получить червячную передачу.

Распространение получили червячные передачи, в которых оси элементов скрещиваются под углом 90.

Цилиндр с винтовой линией принято называть червяком, а сопряженный с ним цилиндр, на котором расположены зубья с наклоном – червячным колесом.

В случае, когда скорость скольжения равна нулю, относительное движение будет только вращательным с угловой скоростью и элементы передачи перекатываются по начальным поверхностям, совпадающими с аксоидными поверхностями.

В случае, когда оси звеньев параллельны друг другу, аксоидными поверхностями будут цилиндры с внешним касанием (рисунок 2.22а) или внутренним касанием (рисунок 2.22б). Относительное движение воспроизводится перекатыванием этих поверхностей без скольжения. Эти аксоиды можно принять в качестве начальных поверхностей элементов цилиндрической передачи.

О₁ , О₂ , r₁, r₂ – оси и радиусы вращения звеньев (1-го и 2-го соответственно);

а – внешнее касание звеньев; б – внутреннее касание звеньев

Рисунок 2.22 – Передача цилиндрическая

В случае, когда оси звеньев пересекаются, ось относительного вращения расположена в плоскости осей звеньев, проходит через точку пересечения этих осей и делит угол между ними на углы, синусы которых обратно пропорциональны угловым скоростям, а аксоидные поверхности представляют собой конусы с общей вершиной (рисунок 2.23). Относительное движение их состоит в перекатывании друг по другу без скольжения. Осью относительного вращения является общая образующая аксоидных конусов по которой они соприкасаются. Эти аксоидные поверхности можно принять в качестве начальныых конусов.

₁, ₂, r₁, r₂ –углы конусности и радиусы внешней окружности звеньев (1-го и 2-го соответственно);  - суммарный угол конусности; L – конусное расстояние

Рисунок 2.23 – Передача коническая

Для передач с перекрещивающимися осями в качестве начальных принимают части аксоидных поверхностей, которые задают в виде цилиндров или конусов, касающихся в точке (рисунок 2.21). В этом случае нормаль к поверхности не проходит через оси вращения, касательная плоскость проходит через векторы угловой и линейной скоростей. Цилиндрические фрагменты гиперболоидов образуют винтовую передачу, а конические – гипоидную.

Передача вращательного движения осуществляется круглыми звеньями (колесами) с выступами (зубьями), расположенными на поверхности элементов передачи.

Начальные поверхности зубчатых колес передачи – это взаимно касающиеся поверхности в любой точке касания которых можно провести общую касательную к линии зубьев, лежащих на этих поверхностях и общая нормаль к зацепляющимся профилям зубьев в точке контакта всегда проходила на линии центров через одну и ту же точку, называемую полюсом зацепления. При этом вектор линейной относительной скорости колес направлен вдоль этой касательной или равен нулю.

Профили зубьев, удовлетворяющие этому условию, являются сопряженными и обеспечивают выполнение основного закона зацепления: для сохранения постоянства передаточного отношения зубчатого механизма необходимо, чтобы нормаль к соприкасающимся профилям зубьев в точке контакта всегда проходила на линии центров через одну и ту же точку, называемую полюсом зацепления, которая занимает неизменное положение. Основной закон зацепления сформулирован на основании теоремы о соотношении скоростей в высшей кинематической паре.

Если в винтовой передаче один из вращающихся элементов представить в виде цилиндрического колеса с наклонным зубом, то образуется червячная передача.

Распространение получили червячные передачи, в которых оси элементов скрещиваются под углом 90.

Цилиндр с винтовой линией принято называть червяком, а сопряженный с ним цилиндр, на котором расположены зубья с наклоном – червячным колесом.

Передаточное отношение между элементами механической передачи зацеплением устанавливается соотношением угловых скоростей звеньев и равно:

- для цилиндрических передач

i₁₂ = ₁/ ₂= r₂/ r₁; (2.18)

- для конических передач

i₁₂ = ₁/ ₂= r₂/ r₁=OPsin₂/ OPsin₁; (2.19)

- для конических ортогональных передач (=₁+ ₂=90)

i₁₂ = sin₂/ sin₁= sin₂/ cos₂= tg₂; (2.20)

- для передач, оси которых скрещиваются в пространстве

i₁₂ = ₁/ ₂=O₁P/ O₂P=tg₁/ tg₂=sin₂/ sin₁ (2.21)

В зависимости от заданного общего передаточного отношения и выбранной схемы передачи могут быть одно- двух- и многоступенчатые.

В механизмах, состоящих из нескольких пар колес общее передаточное отношение получают перемножением передаточных отношений каждой пары, взятых со своими знаками

i_1n =₁/ _n=(-1)^m( i₁₂ )( i₂₃ )… ( i_(n-1)n ). (2.22)

Знак передаточного отношения при четном количестве внешних зацеплений будет положительный, при нечетном – отрицательный.

В передачах зацеплением передаточное отношение i отождествляется с передаточным числом u, которое представляет собой отношение числа зубьев одного колеса к числу зубьев другого.

При понижении частоты вращения колес от входа к выходу (редуцировании) это будет отношение числа зубьев z₂ большего колеса к числу зубьев z₁ меньшего колеса

u= z₂/z₁ =₁/₂  i ,

где ₁ и ₂ – откорректированные значения угловых скоростей звеньев 1 и 2 в соответствии с их геометрическими параметрами, установленными окончательным расчетом.

Для червячных передач в качестве значения z₁ принимают количество заходов (витков) на червяке.

В многоступенчатых передачах передаточное число рекомендуют принимать для каждой последующей ступени в 1,25; 1,4 или в 1,6 раза меньше по сравнению с передаточным числом предыдущей ступени.

Зубчатые механизмы могут быть образованы колесами с неподвижными и подвижными осями.

Механизмы, с колесами, которые вращаются вокруг осей не перемещающихся в пространстве называют рядовыми.

Передачи с колесами, оси которых подвижны и перемещаются вокруг окружностей других колес, будучи с ними связанными называются эпициклическими. Эпициклическая передача, в которой на отдельные звенья наложена дополнительная кинематическая связь называется планетарной (рисунок 2.24).

1 – колесо центральное; 2 – сателлит; h– водило;

Р₀ – мгновенный центр вращения

Рисунок 2.24 – Схема трехзвенного планетарного механизма

Звено h входит во вращательные пары О₁ со стойкой и О₂ с зубчатым колесом 2 и вращается с угловой скоростью _h. Звено 2 обегает центральное неподвижное колесо 1, вращаясь с угловой скоростью ₂ вокруг мгновенного центра вращения Р₀. Звено 1 называют центральным колесом, звено 2 – сателлитом, звено h –водилом.

Механизмы, в которых хотя бы одно звено имеет подвижную ось называют сателлитными. Таким образом сателлитные механизмы с одной степенью подвижности являются планетарными. Передаточное отношение в таких передачах устанавливается по связи угловых скоростей ₂ и _h через линейную скорость v_O2 точки O₂, общей для колеса 2 (сателлита) и водила h

v_O2=₂r₂= - _h(r₁ - r₂), (2.23)

где r₁ и r₂ – радиусы центрального колеса и сателлита соответственно.

При условно неподвижном колесе 1 по принципу обращенного движения величина передаточного отношения от второго звена к водилу устанавливается по формуле

i_2h⁽¹⁾ =₂/_h=(r₂ – r₁)/ r₂=1- (r₁/ r₂)=1- i₂₁^(h), (2.24)

где i₂₁^(h) – передаточное отношение от второго колеса к первому при условно остановленном водиле h.

В планетарных механизмах с круглыми колесами сумма передаточных отношений при различных останавливаемых звеньях всегда равна единице

i_2h⁽¹⁾ + i₂₁^(h)=1. (2.25)

Сателлитные механизмы с двумя и более степенями подвижности называют дифференциальными механизмами, (рисунок 2.25)

1, 2 – колеса центральные; 3 – сателлит; h - водило

Рисунок 2.25– Схема дифференциального механизма с цилиндрическими колесами