4.3.9. Рівномірна неперервність

Означення. Функція у = f(x) називається рівномірно неперервною на деякому проміжку І, якщо для довільного знайдеться , таке що для будь-яких х₁, х₂  І, які задовольняють умову , виконується нерівність

Р озглянемо неперервну функцію на проміжку (0; 1). Візьмемо довільне і спробуємо знайти , таке щоб за умови виконувалась нерівність . Дістанемо:

або

Вираз за умови може бути як завгодно великим. Якщо значення достатньо малі, то нерівність не може виконуватися при всіх із (0, 1). Отже, ця функція не є рівномірно неперервною.

З ауваження. Поняття рівномірної неперервності пов’яза­не з проміжком, на якому розглядається функція («рівномірно» — це приблизно однаково).

Теорема 5 (Кантора). Якщо функція у = f(x) неперервна на відрізку [а, b], то вона рівномірно неперервна на ньому.

Доведення. Візьмемо довільне . Припустимо, що функція не є рівномірно неперервною, тобто при будь-якому знайдуться значення х₁, х₂  [a, b], такі що виконується нерівність

Візьмемо послідовність значень . При кожному значенні знаходимо значення аргументу такі що для маємо:

Послідовність значень — обмежена, тому знайдеться частинна послідовність що має границю с. Дістанемо:

Водночас має виконуватися нерівність Здобута суперечність означає, що припущення неправильне, а отже, функція f(x) рівномірно неперервна. 

361