
- •4.3. Неперервність функції
- •4.3.1. Основні поняття
- •Графічна ілюстрація
- •4.3.2. Властивості неперервних функцій
- •1) F(X) g(X); 3) const g(X);
- •4.3.3. Розриви функції
- •4.3.5. Наслідки з формул для визначних границь
- •4.3.6. Порівняння нескінченно малих величин
- •4.3.7. Шкала еквівалентних нескінченно малих величин
- •4.3.8. Властивості функцій неперервних на відрізку
- •4.3.9. Рівномірна неперервність
4.3. Неперервність функції
4.3.1. Основні поняття
Означення (Коші) |
Функція
у
= f(x)
називається неперервною
в точці
х0
функцією,
якщо ця функція f
визначена в точці х0
і для кожного (достатньо малого) числа
|
або
f(x)
— неперервна
в точці х0,
якщо
|
Відношення можна переписати у вигляді
Графічна ілюстрація
Рис. 4.9
Пояснення.
Функція y
= f(x)
— неперервна в точці х0,
якщо при будь-якому х
з
інтервалу
значення f(x)
лежать у смузі
.
Дамо означення неперервності функції, еквівалентні означенню Коші
Означення. Функція y = f(x) називається неперервною в точці х0, якщо
f(x) визначена в точці х0;
границя зліва в точці х0 дорівнює границі справа в цій точці і дорівнює значенню в ній функції (рис. 4.10):
.
Рис. 4.10
Означення.
Функція у
= f(x)
називається неперервною
в точці х0,
якщо нескінченно малому приросту
аргументу
відповідає нескінченно малий приріст
функції
.
Приклад. Довести за означенням, що функції y = x2 і y = sin x неперервні в будь-якій точці х0 R.
1. Надамо
аргументу х0
R
приросту х,
тоді
.
Якщо х — нескінченно мала величина, то у — також нескінченно мала величина, оскільки коли х 0, то і у 0. Отже, y = x2— неперервна функція при будь-якому х0 R.
2. Надамо аргументу х0 R приросту х:
Якщо х 0, то у 0. Отже, функція y = sin x неперервна функція при будь-якому х0 R.
Означення. Функція у = f(x) неперервна на проміжку (а, b), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.
Означення. Функція у = f(x) неперервна на відрізку [а, b], якщо вона неперервна на проміжку (а, b) і неперервна в точці х = а справа і в точці х = b зліва.
Означення. Функція у = f(x) називається неперервною в точці х0 справа (зліва), якщо
Ф
ункція
неперервна в точці х0 зліва (рис. 4.11).
Рис. 4.11
Теорема 1. Усі елементарні функції неперервні на інтервалах визначеності.
4.3.2. Властивості неперервних функцій
Теорема 2. Нехай функції у = f(x) i y = g(x) — неперервні на інтервалі (а, b). Тоді їх наведені далі комбінації також неперервні:
1) F(X) g(X); 3) const g(X);
2) f(x) g(x); 4) f(x) / g(x), g(x) 0.
Теорема 3. Якщо функція у = f(x) неперервна в будь-якій точці х0 і u = F(y) неперервна в точці f(x0), то їх композиція f о F — cкладена функція і u = F(f(x)) — неперервна в точці х0.
Доведення. За означенням
Д овести, що функція
неперервна в будь-якій точці х.
Функція у є композицією двох неперервних функцій
і
Функція f(x) і F(x) неперервна згідно з теоремою 1, а їх композиція f о F неперервна за теоремою 3.
4.3.3. Розриви функції
Означення. Функція у = f(x), яка не є неперервною в точці х0, називається розривною в цій точці.
Можливі варіанти розриву функцій в точці
|
|
Рис. 4.12
|
|
Рис. 4.13
|
|
Рис. 4.14
Означення. |
Точка х0 називається точкою розриву першого роду функції у = f(x), якщо існують скінченні границі
|
||
|
1. або
2.
або
3.
або |
неусувний розрив 1-го роду; |
|
|
4.
|
|
Означення. |
Точка х0 називається точкою розриву 2-го роду функції у = f(x), якщо одна із границь
не існує або нескінченна. |
4.3.4. Методика дослідження функції у = f(x) на неперервність
Знаходимо точку х0 — «підозрілу» на розрив. Це може бути точка, в якій функція невизначена або змінює закон визначеності.
Визначаємо інтервали неперервності функції.
Обчислюємо
.
4. Робимо висновок згідно з теоремами (якщо такі границі існують), або використовуючи означення точок розриву.
Д ослідити на неперервність функцію
Рис. 4.15
Точка х0 = 1 є «підозрілою» на розрив, оскільки в ній функція змінює закон визначеності (на проміжку (– ; 1) маємо у = х, на проміжку (1, +) — іншу залежність: у = х + 1).
Функція неперервна на проміжках (– ; 1) і (1; + ).
Знаходимо
.
4.
,
тому за означенням функція
має в точці
х
= 1 неусувний розрив 1-го роду.
Д ослідити на неперервність функцію
1. Точка х0 = 0 є «підозрілою» на розрив, оскільки в ній функція змінює закон визначеності.
2. (–
;
0)
(0; + )
— множина, де функція неперервна.
3. Знаходимо
1
= 1 =1 — функція неперервна в точці х0
= 0 за означенням неперервної функції.
Отже, інтервалом неперервності функції
(рис. 4.8).