4.2.2. Ліва та права границі функції
Означення: |
Правою границею функції , коли х прямує до а справа, називається число l, таке що існує , при якому для всіх х, що задовольняють нерівність
маємо
Позначення:
|
,
.
.Графічна ілюстрація
Рис. 4.6
Означення: |
Лівою границею функції , коли х прямує до а зліва, називається число A–, таке що при будь-якому існує 0 таке, що для всіх х, які задовольняють нерівність
маємо
|
,
.Позначення:
.
Інколи
границю
називають двосторонньою
границею, а
границі зліва та справа — односторонніми
границями.
Зв’язок між односторонніми та двосторонніми границями: Функція має границю в точці х = а тоді і тільки тоді, коли існують границі зліва та справа в точці х = а і дорівнюють одна одній. Символічно:
і
.
4.2.3. Теореми про границі функції
Теорема
19. Якщо
,
то функція
обмежена при
.
Теорема
20. Якщо
,
то знайдеться такий -окіл
точки а,
де ця функція набуває значень, які мають
той самий знак, що й А.
Теорема
21. Якщо
то
.
Теорема 22. |
Якщо
то існує границя . |
,
Теорема 23. |
Якщо
існують границі
то виконуються такі співвідношення:
1)
2)
3)
|
,
,
,
якщо
.4.2.4. Перша визначна границя
Доведення. З рис. 4.7 дістаємо:
Рис. 4.7
Доведемо,
що коли х 0,
то сos x 1,
причому з рисунка бачимо:
.
За теоремою 7 про «охоплену» послідовність:
,
тобто
.
Тоді
.
Отже,
.
Графічна
ілюстрація
.
Рис. 4.8
Наслідки:
1.
2.
3.
.
4.2.5. Друга визначна границя
Доведення.
1. Припустимо, що
.
Для будь-якого х
знайдеться натуральне число n,
таке що
.
Тоді
,
або
.
Якщо велике число піднесемо до великого степеня, нерівність лише підсилиться. Дістаємо:
Обчислимо границі:
За теоремою 7 про «охоплену» послідовність маємо:
2.
Нехай
.
Знайдемо
Наслідки:
1.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
У частинному випадку
4.2.6. Формула Ейлера
Л. Ейлер дав означення показникової функції за формулою
З найдемо границю
Позначимо
.
Скориставшись формулою Муавра, дістанемо
;
;
.
Тоді
Отже,
.
Звідси випливає формула Ейлера
Для показникової функції маємо
.
Тоді можна також знайти вирази для тригонометричних функцій sin x і cos x
О
бчислити
* Літерою е його вперше позначив Л. Ейлер.