4.1.10. Теорема Бореля

Розглянемо деяку точкову множину та множину інтервалів, що мають таку властивість: кожна точка даної множини належить хоча б одному з них. Тоді говорять, що маємо покриття множини інтервалів:

Якщо точка х належить інтервалу (, ), то деякий окіл цієї точки також належить цьому інтервалу:

Теорема 11. З будь-якого нескінченного покриття відрізка інтервалами завжди можна вибрати скінченне підпокриття. Іншими словами: якщо існує нескінченна множина інтервалів, таких що кожна точка належить хоча б одному з них, то з цієї множини інтервалів можна вибрати скінченне число таких точок, щоб вони повністю покривали відрізок.

Доведення. Візьмемо відрізок [a, b], який покрито нескінченною множиною інтервалів. Припустимо, що не можна знайти скінченного підпокриття. Поділимо відрізок пополам. Ту з половин, яку не можна покрити скінченним числом інтервалів, позначимо [a₁, b₁]. Якщо обидві половини відрізка [a, b] можна було б покрити скінченним числом інтервалів, то й весь відрізок можна було б покрити скінченним числом інтервалів. Поділимо відрізок [a₁, b₁] пополам, і ту з половин, яку не можна покрити скінченним числом інтервалів, позначимо [a₂, b₂]. Продовжуючи процес такого поділу, дістаємо послідовність вкладених відрізків [a_n, b_n], довжина яких прямує до нуля. Для кожного з відрізків не можна знайти скінченного підпокриття. За лемою про вкладені відрізки в такому разі існує єдина точка с, точка, що .

Візьмемо інтервал (, ), який містить точку с:

Знайдеться номер N, такий що при точки a_n належать інтервалу (, ):

Тоді відрізок [a_n, b_n] повністю покривається одним інтервалом. Припущення неправильне. Отже, відрізок [a, b] можна покрити скінченним числом інтервалів. 

В ізьмемо проміжок (0, 1]. Його покриває така множина інтервалів:

.

Випишемо послідовність інтервалів:

;

Рис. 4.3

Ця множина інтервалів повністю покриває проміжок (0, 1], причому з неї не можна вилучити жодного інтервалу, оскільки при цьому не буде покриватися частина проміжку (0, 1]. Не існує скінченного покриття. 

З ауваження. Із прикладу випливає, що теорему Бореля можна застосовувати лише до відрізків, а до проміжків іншого виду вона не застосовна.

4.1.11. Принцип збіжності Больцано–Коші

Теорема 12. Для того щоб послідовність х_n мала границю, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого  > 0 знайшовся номер N, такий що при n > N, m >N виконується нерівність

.

Доведення. Необхідність. Нехай послідовність х_n прямує до границі а. За заданим  > 0 знайдеться номер N, такий що при n > N буде виконано нерівність . Коли , , дістанемо

,

або

.

Достатність. Візьмемо довільне . Знайдемо номер N, такий що при n > N, m >N виконується нерівність

.

Послідовність х_n обмежена. Тому існує частинна послідовність х_nm, яка має границю а. Перейшовши в нерівності до границі при , дістанемо . Це означає, що . 

4.1.12. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності

Означення. Послідовність х_n називається нескінченно малою, якщо

Послідовність х_n називається нескінченно великою, якщо