Міжгалузевий баланс

Постановка задачі. Розглянемо економічну систему, що її утворюють взаємозв’язані галузі виробництва за певний період часу. Скористаємося такими позначеннями:

— загальна вартість продукції, виробленої в і-й галузі ;

— вартість кінцевого продукту і-ї галузі для невиробничих потреб;

— вартість продукції і-ї галузі, що споживається в j-й галузі .

Розподіл продукції між зазначеними галузями подамо таблицею:

Галузь	Вартість продукції	Міжгалузеві потоки				Разом на виробничі потреби	Кінцевий продукт
		1	2	…	n
1				…
2				…
…	…	…	…	…	…	…	…
n				…

Зв’язок між величинами в рядках цієї таблиці запишемо у вигляді системи рівнянь:

(1)

Рівняння (1) називаються балансовими рівняннями.

Нехай — вартість продукції i-ї галузі, що спожива­ється на виробництво одиниці продукції j-ї галузі, тоді

(2)

Величини називаються коефіцієнтами повних витрат. Вони утворюють матрицю

(3)

яку називають матрицею прямих витрат, або технологічною матрицею.

Сукупність значень що характеризує випуск кінцевого продукту, називають вектором у кінцевих продуктів, а сукупність значень яка визначає валовий випуск усіх галузей, — вектором-планом х. Записують кожну із цих сукупностей у вигляді вектора-стовпця (або вектора-рядка):

(4)

Визначивши з (2) , подамо систему (1) у вигляді балансових рівнянь:

. (5)

Отже, згідно з позначеннями (3) і (4) система (5) рівносильна матричному рівнянню

або

Єдиний розв’язок цього рівняння подається у вигляді

. (6)

Таким чином, якщо вектор у кінцевих продуктів задано і знайдено матрицю , то за (6) можна визначити вектор-план

Очевидно, що коли задано матрицю прямих витрат, то кожному варіанту вектора у кінцевих продуктів відповідає певний варіант вектора-плану х.

З ауваження. Матриця

називається матрицею повних витрат, оскільки її елемент означає вартість продукції і-ї галузі, що йде на виробництво вартісної одиниці кінцевої продукції j-ї галузі (повні витрати включають прямі витрати та непрямі витрати ).

З ауваження. Міжгалузевий баланс можна розглядати і в натуральному виразі (при цьому, наприклад, означає обсяг продукції і-ї галузі за певний проміжок часу). Але міжгалузевий баланс у вартісному виразі має важливіше значення з економічного погляду. Він дозволяє, зокрема, об’єдну­вати ті чи інші галузі у групи або підрозділи, що полегшує складання балансів продукції.

Р озглянемо економічну систему з трьох галузей виробництва. Відповідна матриця прямих витрат

,

а обсяги (у грошових одиницях) кінцевих продуктів такі: у₁ = 300, у₂ = 1000, у₁ = 2000. Знайти відповідний вектор-план .

 Знайдемо спочатку матрицю

,

а далі — матрицю повних витрат:

.

Для обчислення матриці В на ЕОМ зручно застосувати програму мовою «GW-BASIC»,

пакет «Mathematics 3.0» або будь-який інший пакет.

Помноживши матрицю B = (E – A)^–1 на вектор-стовпець у кінцевих продуктів, дістанемо вектор-план:

.

Таким чином, коли задано (у грошових одиницях) обсяги кінцевих продуктів , , , необхідно запланувати такі обсяги виробництва: , , .

200