2.7. Невід’ємні матриці

2.7.1. Нерозкладні матриці

У багатьох економічних застосуваннях розглядаються матриці з невід’ємними елементами.

Означення. Квадратна матриця А називається розкладною, якщо вона за допомогою переставлень рядків і стовпців може бути зведена до вигляду

, (1)

де А₁₁, А₂₂ — квадратні підматриці. Якщо матриця , то матриця А називається повністю розкладною.

Якщо не існує жодного перетворення, за допомогою якого матриця А може набрати вигляду (1), то матриця А називається нерозкладною.

Практичне значення розкладності можна побачити на прикладі системи лінійних алгебраїчних рівнянь

(2)

де А — розкладна матриця, що має вигляд (1). Нехай маємо такі матриці

: -матриця; : -матриця;

: -матриця.

Вектор х розкладемо на два вектори

.

Далі систему рівнянь (2) запишемо у вигляді

,

або

;

. (3)

Систему лінійних рівнянь можна розв’язати незалежно від другої системи рівнянь.

Система рівнянь (2) має ненульовий розв’язок, якщо — власне число матриці А. Із системи рівнянь (3) бачимо, що власні числа матриць , є власними числами розкладної матриці А.

2.7.2. Властивості невід’ємних матриць

У розглянутих далі теоремах наводяться важливі властивості матриць з невід’ємними дійсними елементами. Невід’ємність елементів матриці А визначаємо нерівністю . Якщо всі елементи матриці А додатні, то записуємо це нерівністю . Нерівність означає, що , а нерівність означає, що .

Теорема 1. Для невід’ємної -матриці завжди існує власне число і відповідний власний вектор х, такі що виконуються розглянуті далі умови.

1. Число є дійсним і невід’ємним.

2. Власному числу відповідає власний вектор х з невід’ємними проекціями .

Максимальне власне дійсне число матриці називається коренем Фробеніуса.

Теорема 2. (Теорема Фробеніуса). Для нерозкладної невід’єм­ної матриці порядку маємо:

1) корінь Фробеніуса є дійсним і додатним;

2) власному числу відповідає додатний власний вектор х, ;

3) якщо матриці А та В нерозкладні й мають відповідні корені Фробеніуса , , то при виконується нерівність ;

4) число є простим коренем характеристичного рівняння.

Із цієї теореми випливає, що зі зростанням елементів матриці А корінь Фробеніуса монотонно зростає.

Для строго додатних нерозкладних матриць виконується теорема:

Теорема 3. (Теорема Перрона). Якщо матриця А має додатні елементи, то справджуються такі твердження:

1) корінь Фробеніуса строго додатний і більший за решту власних чисел;

2) для власного числа існує додатний власний вектор .

Невід’ємні матриці мають властивості, про які йдеться в поданій далі теоремі.

Теорема 4. Для невід’ємних матриць маємо:

1) корені Фробеніуса матриць А і рівні між собою;

2) корінь Фробеніуса матриці дорівнює , де , — корінь Фробеніуса матриці А;

3) для матриці корінь Фробеніуса дорівнює ;

4) для кожної головної підматриці матриці А корінь Фробеніуса не більший за корінь Фробеніуса матриці А;

5) якщо — сума елементів в -му рядку, то корінь Фробеніуса матриці А задовольняє умову