2.2.8. Проектори

Означення. Матриця Р називається ідемпотентною, або проектором, якщо справджується рівність РР = Р.

В окремому очевидному випадку нульова та одинична матриці є проекторами.

Теорема 1. Якщо матриця Р є проектором, то матриця Р₁ = Е – Р також є проектором.

Доведення. Знайдемо добуток матриці Р₁ на себе:

.

Із рівності випливає, що матриця є проектором. 

Термін «проектор» можна пояснити так.

Нехай Р — матриця лінійного перетворення — проектування векторів на деякий підпростір. Оскільки повторне проектування спроектованих векторів рівносильне одноразовому проектуванню, то РР = Р.

Припустивши, що вектори утворюють базис, розкладемо довільний вектор за цим базисом:

. (1)

Із рівності , знаходимо вектор .

Рядки матриці В = А^–1 позначимо . Рівність набере вигляду

.

Оскільки ВА = Е, то справджуються рівності

. (2)

Скориставшись (1), запишемо розклад вектора :

. (3)

Теорема 2. Матриці

(4)

є проекторами.

Доведення. Згідно з (2) знайдемо добуток

.

Звідси й випливає те, що потрібно було довести.

Теорема 3. Для двох проекторів і виконуються рівності .

Доведення. Згідно з (4) і (2) маємо:

що й доводить теорему. 

Теорема 4. Якщо — проектори, то

, (5)

де Е — одинична матриця.

Доведення. Рівність (3) можна подати так:

,

звідки й випливає співвідношення (5). 

Знаючи проектори , можна легко розкласти довільний вектор y за даним базисом .

Н ехай базис становлять вектори

.

 Утворимо матрицю А і знайдемо обернену до неї матрицю:

.

Далі запишемо проектори для розкладу за базисом:

Легко перевірити властивості проекторів

.

Щоб знайти розклад вектора за базисом, запишемо:

.

Звідси дістанемо шуканий розклад:

.

Отже, якщо відомі проектори, розклад вектора за базисом зводиться до множення вектора на проектори.

2.2.9. Матриці переставлень

У результаті множення матриці А на іншу матрицю В зліва матриця А замінюється матрицею ВА, в якої рядки є лінійними комбінаціями рядків матриці А:

Будь-які лінійні операції з рядками матриці А рівносильні мно­женню матриці А на деяку матрицю В зліва. Зокрема, переставлення рядків матриці А рівносильне множенню її зліва на так зва­ну матрицю переставлень І, утворювану з одиничної матриці переставленням її рядків. Наприклад, в одиничній матриці третьо­го порядку перший рядок ставимо на місце третього, третій — на місце другого, а другий — на місце першого. У результаті маємо:

Тепер знаходимо добуток

.

Матриця ІА утворюється з матриці А переставленням першого рядка на місце третього, третього рядка — на місце другого, а другого рядка — на місце першого. Отже, усі ті переставлення рядків, які перетворюють матрицю Е на І, відбуваються в матриці А в разі множення її зліва на матрицю І.

Аналогічно, у результаті множення матриці А на матрицю С справа матриця А замінюється матрицею АС, в якої стовпці є лінійними комбінаціями стовпців матриці А.

.

Будь-які лінійні операції зі стовпцями матриці А рівносильні множенню матриці А на деяку матрицю С справа. Переставлення стовпців матриці А рівносильне множенню матриці А справа на матрицю переставлень, утворювану з одиничної матриці переставленням її стовпців.

Якщо матриця І утворюється з одиничної матриці деяким переставленням стовпців, то таке саме переставлення відбувається в матриці А в результаті множення її на матрицю І.

Нехай, наприклад, маємо матриці

.

Матриця І утворюється з матриці Е переставленням першого і третього стовпців, а отже, і матриця

утворюється з матриці А переставленням відповідних стовпців.