2.2.4. Дії з матрицями

Означення. Нехай дано матрицю А, розмір якої , і скаляр . Добутком  на А називається матриця розміру :

Щоб помножити матрицю А на скаляр , потрібно кожний її елемент помножити на цей скаляр.

.

Означення. Сумою двох матриць

розміру є матриця

такого самого розміру. Аналогічно означується різниця матриць. Додавати і віднімати можна лише матриці однакового розміру.

З найдемо суму та різницю двох матриць

:

.

Згідно з наведеними означеннями виконуються такі правила:

Добуток матриць визначається через добуток лінійних перетворень. Нехай дано дві матриці: матрицю В розміру і матрицю А розміру :

. (1)

Розглянемо лінійні перетворення , які можна подати у вигляді

Виключаючи змінні , знаходимо лінійне перетворення , яке можна записати так:

Позначивши

, (2)

подамо це лінійне перетворення у вигляді

,

або

Останню систему зручно записувати у векторній формі , де матриця С розміру має вигляд

. (3)

Означення. Матриця С виду (3) з елементами виду (2) називається добутком матриць В та А: С = ВА.

Елемент матриці С, що міститься в k-му рядку матриці В і s-му стовпці матриці А, є скалярним добутком k-го рядка матриці В та s-го стовпця матриці А.

Добуток матриць ВА є визначеним лише в тому разі, коли число стовпців першого множника дорівнює числу рядків другого множника.

Добуток матриць В розміру та А розміру є матрицею, розмір якої :

Рис. 2.5

З найдемо добуток матриць

;

;

.

На цьому прикладі бачимо, що в загальному випадку .

Означення. Якщо АВ = ВА, то матриці А, В називаються переставними, або комутативними.

Наведемо властивості добутку матриць, припускаючи, що множення їх можливе.

Якщо Е — одинична матриця, то ЕА = А, АЕ = А.

При транспонуванні матриць справджуються рівності:

.

Добуток матриці А на вектор-стовпець можна розглядати як частинний випадок добутку матриці А розміру на матрицю розміру

Скалярний добуток двох векторів-стовпців можна роз- глядати як матричний добуток транспонованого вектора на век­тор :

Означення. Якщо для квадратної матриці А порядку n існує матриця В, така що АВ = Е, де Е — одинична матриця, то матриця В називається оберненою до матриці А і позначається В = А^–1.

Якщо для матриці А існує обернена матриця А^–1, то матри- ця А називається неособливою, невиродженою, або регу- лярною.

Із теореми 5 випливає, що матриця А буде неособливою в тому і лише в тому разі, коли всі її стовпці або рядки будуть лінійно незалежні, тобто коли .

Якщо для матриці А не існує оберненої матриці, то матриця А називається особливою, виродженою, або сингулярною.

Для того щоб квадратна матриця А порядку n була особливою, необхідно і достатньо, щоб її стовпці або рядки були лінійно залежними, тобто щоб .

Доведемо, що матриця, обернена до деякої матриці, визначається єдиним чином.

Припустимо, що навпаки: неособлива матриця А має різні праву та ліву обернені матриці, тобто

АВ = Е, СА = Е.

Помножимо рівність СА = Е справа на матрицю В. Із рівності (СА)В = В дістанемо С(АВ) = В, або С = В. Отже, ліва та права обернені матриці збігаються:

А^–1А = Е, АА^–1 = Е.

Якщо матриці А, В мають обернені матриці А^–1, В^–1, то матриця АВ має обернену (АВ) ^–1 = В^–1А^–1.

Справді, маємо рівність

АВ(В^–1А^–1) = А(ВВ^–1)А^–1 = АЕА^–1 = АА^–1 = Е.

У загальному випадку для обернення добутку матриць виконується рівність

(АВ ... С)^–1 = С^–1 ... В^–1А^–1.