2.1.2. Норма вектора

Щоб схарактеризувати вектор a із одним числом, вводять норму цього вектора, яка звичайно подається через його координати Норму можна ввести по-різному, забезпечивши виконання таких властивостей:

 0; (1)

норма вектора а дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли a = 0;

; (2)

. (3)

Норму вектора часто подають у такому вигляді:

; ; .

(4) (5) (6)

З ауваження. Кожна з норм (4)—(6) є частинним випадком норми Гельдера:

.

При р = 2 дістаємо норму (6), при р = 1 — норму (4), а при р → ∞ — норму (5).

Норму вектора , подану у вигляді (6), називають евклідовою.

Оскільки виконання властивостей (1)–(3) для норм вектора (4)–(5), а також властивостей (1), (2) для норми вектора (6) цілком очевидне, обмежимося доведенням такої теореми.

Теорема. Евклідова норма вектора a, що визначена у вигляді (6), задовольняє нерівність (3).

Доведення. За означенням скалярного добутку маємо:

.

Оскільки

,

то дискримінант цього квадратного (відносно λ) тричлена недодатний:

Отже,

,

звідки випливає потрібна нерівність:

Остаточно маємо , що й треба було довести. 

Можна довести, що в m-вимірному просторі справджується теорема косинусів для просторового трикутника з двома сторонами, які являють собою вектори а та b (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Справді, виконується рівність:

де

Якщо cos  = 1, то вектори a та b паралельні й однаково напрямлені; якщо cos  = –1, то ці вектори паралельні й протилеж­но напрямлені.

Зауважимо, що за допомогою скалярного добутку можна подати кут між ненульовими векторами a та b. Оскільки при  0, виконується нерівність то існує кут , 0    , такий що

Цей кут  визначається як кут між векторами а та b в m-вимірному просторі.

Подамо cos  через координати векторів а і b:

.

Примітка. Надалі за норму братимемо вираз (6).

Величину називатимемо довжиною, або модулем, вектора. У разі використання комп’ютерів переважно застосовують формули (4) і (5), які є найзручнішими для обчислень.

Можна довести, що всі норми вектора еквівалентні, тобто при будь-яких значеннях норм існують сталі , такі, що для будь-якого а виконується нерівність

Означення. Якщо довжина вектора а дорівнює одиниці, то вектор називається одиничним, або нормованим.

Якщо і  1, то, множачи вектор а на , дістаємо одиничний вектор

 Справді, виконується рівність



Означення. Якщо всі вектори а₁, а₂, …, а_n ортогональної системи є одиничними, то ця система векторів називається ортонормованою.

С истема одиничних векторів

є ортонормованою, оскільки

Довжину вектора a можна подати через скалярний добуток:

.

Якщо два вектори а та b взаємно ортогональні, то

.

Ця рівність називається теоремою Піфагора.

 Справді, маємо:

.

2.1.3. Лінійна незалежність векторів

Означення. Вектори а₁, а₂, …, а_n називаються лінійно незалежними, якщо рівність

(1)

виконується лише при .

Якщо рівність (1) досягається тоді, коли коефіцієнти не перетворюються одночасно на нуль, то вектори а₁, а₂, …, а_n називаються лінійно залежними.

Якщо один із векторів а₁, а₂, …, а_n нульовий, то ці вектори лінійно залежні, оскільки коефіцієнт при векторі може бути взятий ненульовим.

У одновимірному векторному просторі R¹, тобто на прямій, будь-який ненульовий вектор є лінійно незалежним, а будь-які два вектори вже лінійно залежні.

У двовимірному просторі R², тобто на площині, два вектори лінійно залежні, якщо вони паралельні одній прямій, тобто колінеарні. Довільні два вектори лінійно незалежні, якщо вони неколінеарні. Будь-які три вектори в R² лінійно залежні, оскільки кожний третій вектор може бути виражений через два інші.

У тривимірному просторі R³ три вектори будуть лінійно залежними, якщо вони паралельні одній площині, тобто компланарні. Якщо три вектори не компланарні, то вони лінійно незалежні.

Якщо із системи лінійно незалежних векторів вилучити один або кілька векторів, то решта векторів також будуть лінійно незалежними.

Нехай вектор має координати , тобто

. (2)

Рівність (1) можна записати в координатній формі як систему лінійних алгебраїчних рівнянь

(3)

Очевидно, справджується таке твердження.

Теорема 1. Для того щоб вектори a_s (2) були лінійно незалежними, необхідно і достатньо, щоб система рівнянь (3) мала єдиний нульовий розв’язок.

Наведемо прості ознаки лінійної незалежності векторів у R^m.

Теорема 2. Вектори , які утворюють ортонормовану систему , є лінійно незалежними.

Доведення. Помноживши рівність (1) скалярно на вектор , дістанемо

.

Оскільки , , то , що й доводить правильність теореми.

Теорема 3. Нехай вектори при мають вигляд

причому s-та координата кожного з них , а попередні координати дорівнюють нулю. Тоді вектори лінійно незалежні.

Доведення. Складемо систему лінійних рівнянь виду (3):

(4)

Із перших n рівнянь знайдемо очевидний єдиний розв’язок , що й доводить лінійну незалежність заданих векторів.

Розглянемо важливий частинний випадок, коли n = m, тобто кількість векторів a₁, a₂, …, a_n дорівнює розмірності простору R^m.

Означення. Система m лінійно незалежних векторів в m-ви­мірному просторі R^m називається базисом.

Із теорем 2 та 3 випливають такі очевидні висновки.

Теорема 4. Ортонормована система m векторів у m-ви­мірному просторі утворює базис.

Теорема 5. Вектори

де і перші координати вектора дорівнюють нулю, утворюють базис.

Означення. Еквівалентними перетвореннями системи векторів називаються такі перетворення:

1) переставляння векторів;

2) множення вектора на число, відмінне від нуля;

3) додавання до одного вектора інших векторів, помножених на довільні числа.

Теорема 6. У результаті еквівалентних перетворень система лінійно незалежних векторів a₁, a₂, …, a_n перетворюється на систему лінійно незалежних векторів.

Доведення. Очевидно, що в разі переставляння і множення век­тора на довільне ненульове число лінійна незалежність векторів зберігається. Лишається довести, що в результаті додавання до одного вектора інших векторів, помножених на довільні числа, лінійна незалежність також не порушується.

Не поступаючись загальністю, можна вважати, що до вектора додаємо решту векторів , помножених на довільні числа , і дістаємо систему векторів:

.

Доведемо, що вектори утвореної системи лінійно незалежні, якщо вектори — лінійно незалежні. Для цього запишемо суму виду (1):

. (5)

Із рівності

дістаємо, що , .

Звідси випливає, що рівність (5) можлива лише при x₁ = x₂ = = … = x_n = 0, що доводить справедливість теореми.

Із цієї теореми маємо важливий наслідок: за допомогою еквівалентних перетворень з лінійно залежної системи векторів утворюється система також лінійно залежних векторів.

Д оведемо, що вектори

становлять базис, тобто є лінійно незалежними.

 Віднімемо від вектора вектор , а від вектора — вектор . Дістанемо вектори

які лінійно незалежні згідно з теоремами 3 і 5.

Із теореми 6 випливає, що вихідна система трьох векторів лінійно незалежна і, отже, утворює базис.

Означення. Лінійно незалежні вектори

утворюють базис, який називається канонічним.

Якщо вектор має проекції , то справджується рівність