Тема № 1. Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения I порядка.

Пример 1.

Пример 2: решить следующее дифференциальное уравнение:

1. xy^/+y-3=0

Решение: Для решения примера используем формулы.

Для этого надо найти функции P(X) и f(x).

- общее решение однородного диффренциального уравнения.

3 – частное решение неоднородного диффренциального уравнения.

Тема № 2 Числовые ряды.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение: запишем общий член этого ряда

.

Тогда

,

т.е. ряд расходится.

Пример 2. Доказать сходимость ряда

Решение: Для установления сходимости ряда воспользуемся неравенством

и сравним данный ряд со сходящимся рядом , . Согласно признаку сравнения, ряд сходится.

Тема №8. Знакопеременные ряды.

Пример 1. Вычислить сумму .

Взяв . Получим ошибку .

Тема №9 Функциональные ряды.

Пример 1. Разложить в степенной ряд по степеням х функцию .

Решение: воспользуемся готовым разложением функции , заменяя в нем х на 5х:

, область сходимости находим из условия , т.е. .

Пример 2. Разложить в степенной ряд по степеням х-1 функцию .

Решение: воспользуемся формулой Тейлора при и найдем:

.

Отсюда

Тема №12 Многомерные интегралы.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

.

Показать, что изменение порядка интегрирования приводит к разным результатам, и объяснить причину этого. Область - квадрат со сторонами: .

Ответ:

,

Внутренний интеграл

.

С другой стороны

.

Внутренний интеграл

.

Различные результаты вычислений объясняются тем, что в точке (0,0) функция не является непрерывной.

Пример 2. вычислить двойной интеграл

,

Где область ограничена линиями и .

Решение: Чтобы определить, как изменяется в области полярный угол , проведем лучи в области . Решая совместно уравнения линий, ограничивающих область , найдем значение угла , соответствующие лучам:

.

Отсюда

; ; .

Таким образом угол в области изменяется от до .

Теперь найдем пределы изменения полярного радиуса в области . Под произвольным углом, взятым в промежутке проведем из полюса луч. В точке входа этого луча в область , а в точке выхода его из области и полярный радиус изменяется в области от до . По формуле находим

.

(Мы вынесли за знак внутреннего интеграла, т.к.при вычислении внутреннего интеграла переменная сохраняет постоянное значение).

Внутренний интеграл

.

Внешний интеграл

.

Тема №

Тема № 15 Теория вероятности.

Пример 1. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 руб., 10 выигрышей по 100 руб. и 100 выигрышей по 1 руб., при общем числе билетов 10000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

Здесь возможные значения для Х есть х₁=1000, х₂=100, х₃=1, х₄=0.

Вероятности их соответственно будут

р₁=0,0001, р₂=0,001, р₃=0,01, р₄=1-( р₁+ р₂+ р₃)=0,9889.

Закон распределения для выигрыша Х может быть задан таблицей:

Х	1000	100	1	0
Р	0,0001	0,001	0,01	0,9889

Пример 2. Найти математическое ожидание выигрыша Х в примере 1.

Решение. Пользуясь помещенной там таблицей, имеем

М(х)= 10000,0001+1000,001+10,01+00,9889=0,21 (руб)=21 (коп).

Пример 3. Пусть закон распределения случайной величины задан таблицей:

Х	4	10	20
Р	¼	1/2	1/4

Определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратичное отклонение .

Имеем

отсюда

и