Список рекомендуемой литературы Основная литература:

1. Берман Н.Г., Сборник задач по курсу математического анализа: Уч. пособие., М.: Наука, 1985.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 2004.

3. Письменный Д.Т., Конспект лекций по высшей математике: Полный курс, ч.1-2., М.: Айрис-пресс, 2004-2005.

Дополнительная литература:

1. Рябушко А.П., Индивидуальные задания по высшей математике: Т-1,2, 3., Минск: Вышэйшая школа, 2000.

2. В.С. Шипачев. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1990.

3. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. М., Мир и образование, 2003.

Планы проведения семинарских занятий.

Методические рекомендации: Воспользоваться формулами, приведенными в конспектах лекций или методическими рекомендациями по соответствующим темам из сборника задач [9]. Варианты решения подобных задач приведены в учебно-методическом пособии [8].

Тема №1 Определенный интеграл и его свойства.

Задание:

1. Запишите соответствующие формулы вычисления определенного интеграла, свойств интегралов.

Решите задачи: 1592-1612 (чет).

Тема №2 Геометрические приложения определенного интеграла.

Задание:

1. Запишите соответствующие формулы площади, длины дуги, объема тела вращения через определенный интеграл.

Решите задачи: 1624-1653, 1670-1681 (нечетные).

Тема № 3 Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.(2 часа)

Задание:

1. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

2. Запишите формулы замены переменной в определенном интеграле.

3. Запишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

Решите задачи: 1593-1602.

Тема №4 Приложения определенного интеграла.

Задание:

1. Запишите формулы для нахождения площадей плоских фигур, длин плоских дуг, вычисления объемов тел вращения, вычисления площадей поверхностей вращения.

Решите задачи:1625-1628, 1669, 1670, 1691, 1692, 1710, 1711.

Тема №5 Частные производные и дифференциал функции многих переменных.

Задание:

1. Дайте определение частных производных и дифференциала функции многих переменных.

Решите задачи: 1858-1872 (четные).

Тема №6-8 Занятие №4. Кратные интегралы

Двойные интегралы.

Замена переменных в двойном интеграле. Двойные интегралы в полярных координатах.

Пример1. Вычислить двойной интеграл , если область ограничена линиями . Этот же интеграл вычислить, изменив порядок интегрирования.

Решение: прежде всего следует представить на чертеже область . Контур этой области пересекается всякой прямой, параллельной оси ОУ в двух точках. Воспользуемся сперва формулой

.

Здесь в повторном интеграле внутреннее интегрирование производится по переменной у, а внешнее- по х. Пределы интегрирования в повторном интеграле получены так: область была спроектирована на Ох. Получился отрезок . Этим были определены нижний предел 0 и верхний предел 4 изменения переменной х во внешнем интеграле. Затем на отрезке на оси Ох была выбрана произвольная точка х, через которую проведена прямая, параллельная оси Оу, и на ней рассмотрен отрезок, содержащийся в области . Область ограничена снизу прямой , сверху- прямой . Переменная у изменяется в области от ее значения на нижней части контура до ее значения х до верхней части этого контура. Вычисления следует начинать с внутреннего интеграла

,

В котором величина х должна рассматриваться как постоянная

.

Заметьте, что получилась функция переменной х, как это и следовало ожидать. Вычисляем теперь внешний интеграл:

.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл

.

Показать, что изменение порядка интегрирования приводит к разным результатам, и объяснить причину этого. Область - квадрат со сторонами: .

Ответ:

,

Внутренний интеграл

.

С другой стороны

.

Внутренний интеграл

.

Различные результаты вычислений объясняются тем, что в точке (0,0) функция не является непрерывной.

Пример 3. вычислить двойной интеграл

,

Где область ограничена линиями и .

Решение: Чтобы определить, как изменяется в области полярный угол , проведем лучи в области . Решая совместно уравнения линий, ограничивающих область , найдем значение угла , соответствующие лучам:

.

Отсюда

; ; .

Таким образом угол в области изменяется от до .

Теперь найдем пределы изменения полярного радиуса в области . Под произвольным углом, взятым в промежутке проведем из полюса луч. В точке входа этого луча в область , а в точке выхода его из области и полярный радиус изменяется в области от до . По формуле находим

.

(Мы вынесли за знак внутреннего интеграла, т.к.при вычислении внутреннего интеграла переменная сохраняет постоянное значение).

Внутренний интеграл

.

Внешний интеграл

.

Занятие №5. Приложения двойных интегралов.

Вычисление площади плоской фигуры.

Вычисление объема тела

Вычисление площади поверхности

Тройной интеграл.

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями

,

и - положительны и .

Решение: Кривые- параболы. Первое интегрирование выгодно вести по х, а второе- по у. Решая систему уравнений

,

Найдем координаты точки пересечения парабол:

.

В области переменная х изменяется от ее значения до ее значения . Переменная же у от 0 до . Таким образом искомая площадь равна удвоенной площади и внутренний интеграл вычисляется по переменной х:

кв.ед.

Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями .

Решение: Первая поверхность- эллипический параболоид, укоторого осью симметрии является ось Oz. Он пересекает ее в точке . Поверхность - плоскость, параллельная оси Oz, а остальные плоскости- координатные плоскости.

Тема №8 Ряды

Пример 1. Дан ряд . Установить сходимость этого ряда и найти его сумму.

Решение: Запишем -ю частичную сумму данного ряда и преобразуем ее:

.

Поскольку

,

То данный ряд сходится и его сумма .

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение: запишем общий член этого ряда

.

Тогда

,

т.е. ряд расходится.

Пример 3. Доказать сходимость ряда

Решение: Для установления сходимости ряда воспользуемся неравенством

и сравним данный ряд со сходящимся рядом , . Согласно признаку сравнения, ряд сходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение: Поскольку , то

.

Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение: Воспользуемся радикальным признаком Коши:

.

Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение: Положим, что . Эта функция удовлетворяет всем требованиям интегрального признака Коши. Тогда несобственный интеграл

,

т.е. сходится, а значит, данный ряд тоже сходится.

Функциональные ряды

Пример. .

Решение: Пусть .Тогда ряд, по признаку Коши, сходится при .

Действительно,

.

Если и , то . Следовательно данный ряд расходится, ибо расходится гармонический ряд.

Степенные ряды

Пример. .

Решение: По формуле Коши- Адамара имеем

,

Поэтому при ряд сходится абсолютно.

Исследуем поведение степенного ряда на концах интервала сходимости. Пусть . Нетрудно видеть, что ряд

,

Сходится, т.к. равен сумме двух сходящихся рядов.

Пусть . Тогда числовой ряд

,

В силу признака сравнения, расходится . Следовательно, в точке , степенной ряд сходится лишь условно, в точке - расходится.

Формулы и ряды Тейлора и Маклорена.

Пример. Разложить в степенной ряд по степеням х функцию .

Решение: воспользуемся готовым разложением функции , заменяя в нем х на 5х:

, область сходимости находим из условия , т.е. .

Пример. Разложить в степенной ряд по степеням х-1 функцию .

Решение: воспользуемся формулой Тейлора при и найдем:

.

Отсюда

Пример. Вычислить прибл

Решение:

Доказать сходимость ряда и найти его сумму:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Тема № 9-12 Дифференциальные уравнения первого порядка.

Задание:

1. Дайте определения дифференциального уравнения, решения дифференциального уравнения.

2. Запишите уравнения с разделенными и разделяющимися переменными, однородное дифференциальное уравнение, линейное дифференциальное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли, а также сформулируйте алгоритмы их решения.

Решите задачи: 2094, 2096, 2098-2100 .

Пример. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.

Решение:

Приведем уравнение к уравнению с разделенными переменными. Разделим обе части уравнения на и получим

Теперь переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:

.

(мы заменили на ).

Отсюда общее решение запишется так:

или .

Используя начальные условия найдем . Подставляем в общий интеграл:

.

Частное решение, соответствующее начальному условию:

.

Уравнение вида

Приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки

Пример. Найти решение уравнения .

Решение: Применяем подстановку . Дифференцируя, находим: . Поэтому:

.

Разделяем переменные, умножая обе части на . Получем

.

Интегрируя, находим:

,

Теперь, вычисляя интеграл, получим

.

Заменяя на , имеем

.

Однородные дифференциальные уравнения

Пример. Решить уравнение

.

Представим уравнение в следующем виде . Покажем, что данное уравнение является однородным: ,

.

Применим следующую замену . Тогда имеем

или .

Преобразовав уравнение, получим

или .

Интегрируем обе части

Общее решение уравнения имеет вид

.

Так как , то общее решение примет следующий вид

или .

Преобразовав последнее выражение, получим общее решение

.

Пример. Привести дифференциальное уравнение к однородному.

Решение: Положив , получаем

,

т.е. . Подберем и так, чтобы

.

Решая систему, находим, . Тогда уравнение примет вид

,

т.е. является однородным.

Тема № 13 Определение вероятности.

Задание:

1. Дайте классическое, геометрическое и статистические определения вероятности.

2. Сформулируйте основные свойства вероятности.

Решите задачи:15, 18-22, 26.

Тема № 14 Теоремы сложения и умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Задание:

1. Сформулируйте теорему сложения.

2. Сформулируйте теорему умножения.

3. Запишите формулу полной вероятности.

4. Запишите формулу Байеса.

Решите задачи:51-53, 69, 70, 93, 98.

Тема № 15 Случайные величины и их числовые характеристики.

Задание:

2. Дайте определение случайной величины.

3. Дайте определение математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения.

Решите задачи:188, 211, 252, 264, 280, 297.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ