9.5 Переріз конуса площиною

Бічну поверхню конуса отримують при обертанні відрізка твірної навколо осі, яка перетинає твірну в кожному своєму положенні. Конусом називається тіло, обмежене конічною бічною поверхнею і площиною, що перерізує усі його твірні. Перпендикуляр, опущений з вершини на площину основи, називається висотою конуса. Конуси поділяються на прямі й похилі. Прямим коловим називається конус, в основі якого лежить коло, а висота проходить через центр основи.

Залежно від напрямку січної площини в перерізі прямого колового конуса можна одержати такі фігури:

коло, якщо січна площина паралельна основі конуса (рис.9.15,а);

трикутник, якщо січна площина проходить через вершину конуса (рис.9.15,б);

еліпс, якщо січна площина нахилена до осі під кутом, більшим від кута нахилу твірної до осі (рис.9.15,в);

параболу, якщо січна площина паралельна твірній конуса, тобто нахилена до осі конуса під кутом, більшим від кута нахилу твірної до осі, і не проходить через вершину конуса (рис.9.15,г);

гіперболу, якщо січна площина паралельна двом твірним конуса, тобто нахилена до осі під кутом, меншим від кута нахилу твірної до осі, і не проходить через вершину або паралельна осі (рис.9.15,д).

а б

в г д

Рисунок 9.15

Як було сказано вище, якщо січна площина нахилена до осі під кутом, більшим від кута нахилу твірної до осі, в перерізі отримуємо еліпс. На рис.9.16 фронтально-проекціююча площина Ф перетинає конус по еліпсу, фронтальна проекція якого розташована на фронтальному сліду Ф₂.

Для побудови горизонтальної проекції контура фігури перерізу горизонтальну проекцію основи конуса (коло) поділено на 8 рівних частин. Через точки поділу на горизонтальній і фронтальній проекціях проведено допоміжні твірні. Спочатку знаходять фронтальні проекції точок перетину A₂,B₂,...,H₂, що лежать на сліду Ф₂. Далі за допомогою ліній зв’язку знайдено їх горизонтальні проекції. Наприклад, горизонтальна проекція точки B, розташованої на твірній S2, проекціюється на горизонтальну проекцію цієї ж твірної в точку B₁.

Щоб побудувати горизонтальну проекцію точки C, що належить профільному ребру S3, спочатку будують профільну проекцію C₃ на S₃3₃, а потім C₁ на S₁3₁.

Знайдені горизонтальні та профільні проекції точок контура перерізу сполучають за допомогою лекала. Справжній вигляд фігури перерізу у даному прикладі (рис.9.16) знайдений способом плоскопаралельного переміщення.

Як було зауважено вище, на фронтальній площині проекцій фігура перерізу - еліпс зображається у вигляді прямої A₂E₂, що збігається зі слідом Ф₂. Ця пряма є великою віссю еліпса. Мала вісь еліпса перпендикулярна до великої осі і проходить через її середину. У даному прикладі малою віссю є відрізок KM.

Рисунок 9.16

На рис.9.17 січна площина паралельна лівій крайній твірній конуса, тому в перерізі буде парабола.

Побудова точок, що належать фігурі перерізу, виконується аналогічно попередньому прикладу. Але крім твірних січна площина перетинає основу конуса в точках 1 і 2.

Справжній вигляд фігури перерізу визначено суміщенням (площина разом з фігурою перерізу суміщена з горизонтальною площиною проекцій). Фігура перерізу обмежена параболою і відрізком 12.

Як було зауважено вище, якщо січна площина паралельна двом твірним конуса, то фігура перерізу обмежена гіперболою і відрізком. На рис.9.18 січна площина - фронтальна ( - горизонтальний слід площини).

Горизонтальна проекція фігури перерізу збігається зі слідом . Фронтальну проекцію фігури перерізу побудовано за точками перетину твірних зі слідом площини . На рис.9.18 побудовано точки D і E перетину відповідно твірних S1 і S2 зі слідом площини. Основу конуса – коло площина перетинає в точках A і B. Точка C - вершина гіперболи; побудована як точка перетину твірної S3 зі слідом (спочатку визначено C₁, потім C₃ і C₂).

Сполучивши плавною кривою лінією точки A₂, D₂, C₂, E₂, B₂ і прямою лінією точки A₂ і B₂, дістаємо фронтальну проекцію фігури перерізу конуса фронтальною площиною.

Слід зауважити, що фронтальна проекція є справжнім виглядом фігури перерізу.

Рисунок 9.17 Рисунок 9.18