9 Пареріз геометричних тіл площинами

9.1 Поняття про переріз геометричних тіл

Деталь будь-якої форми можна уявити як сукупність окремих геометричних тіл. Такими тілами, зокрема, є багатогранники та тіла обертання.

Геометричні тіла, обмежені плоскими багатокутниками, називаються багатогранниками (рис.9.1). Ці багатокутники називаються гранями. Лінії перетину граней називаються ребрами. Точки перетину ребер називаються вершинами.

Тіла обертання обмежені поверхнями, які утворюються в результаті обертання будь-якої лінії навколо нерухомої осі (рис.9.2). Лінія, яка при своєму русі утворює поверхню, називається твірною.

Найбільш поширені такі тіла обертання як циліндр, конус, куля.

Деталі машин і приладів здебільшого мають форми, які являють собою різноманітні геометричні поверхні, перерізані площинами (рис.9.3). Задачі побудови проекцій таких перерізів нерідко зустрічаються при виконанні креслень деталей машин.

Рисунок 9.1 Рисунок 9.2 Рисунок 9.3

При перетині багатогранника площиною (наприклад, призми, піраміди) у перерізі отримують багатокутник з вершинами, розташованими на ребрах багатогранника.

При перетині площиною тіл обертання (наприклад, циліндра, конуса) фігура перерізу переважно обмежена кривою лінією. Точки цієї кривої знаходять, використовуючи допоміжні лінії - прямі або кола, які будуються на поверхні тіла. Точки перетину цих ліній з січною площиною будуть шуканими точками контура криволінійного перерізу.

9.2 Переріз призми площиною

Призмою називається багатогранник, у якого дві грані (основи) – рівні багатокутники з відповідно паралельними сторонами, а бічні грані у загальному випадку – паралелограми.

Призма є прямою, коли бічні ребра перпендикулярні до основи, і похилою, коли не перпендикулярні. Бічні грані прямої призми – прямокутники, похилої – паралелограми. Правильною є призма, в основі якої лежить правильний багатокутник. Коли в основі призми лежить прямокутник або паралелограм, вона називається паралелепіпедом.

Фігурою перерізу прямої трикутної призми фронтально-проекціюючою площиною Ф (Ф₂ – фронтальний слід площини) є трикутник ABC (рис.9.4).

Для побудови проекцій фігури перерізу знаходять проекції точок перетину

площини Ф з ребрами призми і сполучають

їх прямими лініями. Фронтальні проекції

цих точок отримують при перетині

фронтальних проекцій ребер призми з

фронтальним слідом Ф₂ січної площини Ф

(точки A₂ ,В₂ ,С₂).

Горизонтальні проекції точок перетину

A₁ ,В₁ ,С₁ збігаються з горизонтальними

проекціями бічних ребер. Маючи дві

проекції цих точок, за допомогою ліній

зв'язку знаходять профільні проекції

точок A₃,B₃,C₃. Отримані точки

сполучають прямими лініями і дістають

профільну проекцію фігури перерізу. Рисунок 9.4

Справжній вигляд фігури перерізу можна визначити будь-яким способом: обертанням, суміщенням чи заміною площин проекцій.

У цьому прикладі (рис.9.4) застосовано спосіб заміни площин проекцій. Горизонтальна площина проекцій замінена новою П₅, причому вісь X₁ (для спрощення побудов) збігається з фронтальним слідом площини Ф₂.

Для побудови нової проекції довільної точки фігури перерізу (наприклад, точки A) необхідно виконати такі побудови. З точки A₂ проводять перпендикуляр до нової осі X₁ і відкладають на ньому відстань від попередньої осі X до горизонтальної проекції точки A₁ ; на кресленні відстань позначена фігурною дужкою. Отримують точку А₅. Аналогічно знаходять точки В₅ і С₅. Сполучивши прямими лініями нові проекції A₅, B₅, C₅, дістають справжній вигляд фігури перерізу.

На рис.9.5 пряма чотирикутна

призма перерізана горизонтально-

проекціюючою площиною Г ( Г₁ -

горизонтальний слід площини).

Фігурою перерізу є плоский

чотирикутник ABDC. Спочатку

визначено горизонтальні проекції

A₁,B₁ і C₁,D₁ точок перетину

відповідно сторін верхньої та

нижньої основи призми з даною

площиною Г. Фронтальні проекції

цих точок знаходяться на

відповідних фронтальних проекціях

сторін основ призми.

Профільні проекції точок

A₃ ,B₃ ,C₃ ,D₃ побудовано відомим

способом.

Справжню величину фігури Рисунок 9.5

перерізу визначено способом заміни площин проекцій.

Фронтальна площина проекцій замінена новою П₄, нову вісь X₁ проведено через слід Г₁ . Далі побудова зрозуміла з креслення.

На рис.9.6 правильна шестикутна призма перерізана фронтально-проекціюючою площиною Ф ( Ф₂ - фронтальний слід площини).

Слід звернути увагу, що площина перетинає не лише бічні ребра, а й верхню основу призми.

Справжній вигляд фігури перерізу визначено плоскопаралельним переміщенням.

Рисунок 9.6