7 Метод проекціювання.

ПРОЕКЦІЮВАННЯ ТОЧКИ, ПРЯМОЇ, ПЛОЩИНИ

7.1 Метод проекціювання

Будь - яку плоску чи просторову фігуру можна розглядати як сукупність точок, ліній та поверхонь. Така фігура називається оригіналом. Властивості оригіналу можна вивчити за певними правилами, тобто коли є однозначна відповідність між геометричними властивостями оригіналу і його рисунка. Для побудови зображень оригіналу користуються методом проекцій.

На рис. 7.1 показано приклад побудови зображення точки - найпростішого складового елементу будь-якої геометричної форми. Це є не що інше, як просторова модель методу проекцій, де точка А - оригінал, пряма - проекційна пряма (промінь), площина П ( пі ) - площина проекцій, точка Ап - зображення точки А на площині П, тобто проекція точки А.

Побудова точки А за методом проекцій полягає в тому, що через точку А проводимо пряму у заданому напрямку до перетину проекційної прямої з площиною П. Проекція Ап точки А отримується в перетині проекційної прямої з площиною проекцій.

Залежно від способу проведення проекційних променів розрізняють такі способи проекціювання: центральне і паралельне. Відповідно проекції поділяються на центральні (конічні, полярні) і паралельні (циліндричні).

При центральному проекціюванні задаються центром або полюсом проекціювання S (рис.7.2), з якого виходять проекційні промені через точки А, В, С до перетину їх з площиною проекцій П. Сполучивши точки Ап, Вп, Сп, отримують центральну проекцію оригіналу. Центральні проекції застосовуються в архітектурно-будівельній справі, малюванні тощо.

У кресленні найчастіше використовують метод паралельного проекціювання, який полягає у тому, що замість центра проекціювання задаються напрямком проекціювання на площину проекцій П (рис.7.3). Тоді проекційні промені паралельні напрямку проекціювання . Сполучивши точки Ап, Вп, Сп, отримують паралельну проекцію оригіналу. Можна вважати, що паралельне проекціювання є частковим випадком центрального проекціювання, коли центр проекціювання S знаходиться у нескінченності.

Паралельні проекції в свою чергу поділяються на прямокутні і косокутні.

Якщо проекційні промені перпендикулярні до площини проекцій, то такий спосіб проекціювання називається прямокутним, а проекції прямокутними. Усі інші проекції – косокутні.

При побудові креслень використовується прямокутне проекціювання на одну, дві або три взаємно перпендикулярні площини.

Одна прямокутна проекція точки не визначає її положення в просторі.

Сукупністю двох прямокутних проекцій (горизонтальної А₁ і фронтальної А₂) на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій (горизонтальну площину проекцій П₁ і фронтальну площину проекцій П₂) можна визначити положення у просторі точки А (рис.7.4).

Рисунок 7.1 Рисунок 7.2 Рисунок 7.3 Рисунок 7.4

7.2 Проекціювання точки на три площини проекцій

Для з'ясування форми та розмірів складної фігури іноді двох проекцій буває недостатньо. Тому виконується проекціювання на три взаємно перпендикулярні площини проекцій, причому вважають, що проекційні промені йдуть із нескінченності й напрямлені перпендикулярно до трьох площин проекцій.

Три взаємно перпендикулярні площини проекцій: горизонтальна П₁, фронтальна П₂ та профільна П₃ - утворюють прямий тригранний кут (рис.7.5,а), ребрами якого є осі проекцій (ОХ - лінія перетину площин П₁ і П₂, ОУ - лінія перетину площин П₁ і П₃, OZ - лінія перетину площин П₂ і П₃). Для отримання прямокутних проекцій точки А її проекціюють на площини П₁, П₂, П₃ і отримують проекції точки А: горизонтальну – А₁, фронтальну – А₂, профільну – А₃.