6.4 Циклічні криві

Циклічні криві являють собою плоскі криві, які описуються точками кіл, що котяться без ковзання. До циклічних кривих відносяться: циклоїда, епіциклоїда і гіпоциклоїда.

Циклоїда застосовується при викреслюванні профілю зуба рейки.

Циклоїдою називається плоска крива (рис.6.15), яку описує точка кола, яке котиться без ковзання по напрямній прямій.

Для побудови циклоїди (рис.6.15) проводять твірне коло діаметром d і дотичну до нього в точці А - напрямну пряму, відкладаючи на ній відрізок АВ, який дорівнює довжині кола . Ділять коло на довільну кількість рівних частин (наприклад, на 12) і з точок поділу його проводять прямі, паралельні напрямній. Пряму АВ ділять на ту ж кількість рівних частин і проводять з точок поділу перпендикуляри до перетину з горизонтальною осьовою лінією кола. Приймаючи точки перетину

за центри, описують з них дуги радіусом твірного кола до перетину з відповідними їм паралельними прямими. Отримані точки перетину сполучають за допомогою лекала плавною кривою лінією.

Рисунок 6.15

Епіциклоїда застосовується при викреслюванні профілів зубів зубчастих коліс.

Епіциклоїдою називається плоска крива, яка описується точкою твірного (рухомого) кола, що котиться без ковзання ззовні по нерухомому напрямному колу (рис.6.16).

Для побудови епіциклоїди за заданим діаметром твірного кола d і радіусом R напрямного кола визначають центральний кут . Як і при побудові циклоїди, твірне коло і напрямна дуга АВ поділяються на кілька однакових частин (наприклад, на 12). Через точки поділу на твірному колі з центра О проводять дуги, а через точки поділу на напрямній дузі з того ж центра проводять промені, які перетинають центральну дугу в точках 1₁ ,2₁ ,3₁ ,... Приймаючи ці точки перетину за центри, описують з них дуги радіусом твірного кола до перетину їх з відповідними їм дугами, які проведені з центра О. Отримані в перетині їх точки сполучають за допомогою лекала плавною кривою.

Рисунок 6.16

Гіпоциклоїдою називається плоска крива, яка описується точкою твірного (рухомого) кола, що котиться без ковзання зсередини нерухомого напрямного кола (рис.6.17).

Побудова гіпоциклоїди (див. рис.6.17) аналогічна побудові епіциклоїди (див.рис.6.16). У даному випадку твірне коло має внутрішній дотик з нерухомим напрямним колом.

Рисунок 6.17

Циклоїди, епіциклоїди та гіпоциклоїди можуть бути вкорочені або подовжені. Вкорочені або подовжені гіпоциклоїди називаються гіпотрохоїдами.

На рис.6.18,а зображено гіпоциклоїду, яка утворюється при співвідношенні радіусів напрямного і твірного кіл і являє собою пряму лінію. На рис.6.18,б гіпоциклоїда має три відгалуження; вона побудована при відношенні Гіпоциклоїда, у якої відношення називається астроїдою (рис.6.18,в).

а б в

Рисунок 6.18

Перициклоїда – це гіпоциклоїда, у якої (рис.6.19).

Кардіоїдою називається епіциклоїда, у якої діаметри твірного і напрямного кіл однакові. На рис.6.20 показано побудову кардіоїди за заданими діаметрами напрямного і твірного кіл. Поділимо напрямне коло на довільну кількість частин, наприклад на дванадцять. З точок поділу 1,2,…12 проведемо лінії через початкову точку дотику 7 напрямного і твірного кіл. На цих лініях від точок 1,2,…12 відкладемо відрізок , який дорівнює діаметрові обох кіл. Точки належать кардіоїді. З’єднаємо їх за допомогою лекала.

Серед інших лекальних кривих розгленемо побудову конхоїди, строфоїди, цисоїди і лемніскати.

Конхоїда утворюється при збільшенні чи зменшенні кожного-радіуса вектора заданої кривої на одну і ту ж величину. Власне конхоїдою називається конхоїда прямої лінії (конхоїда Нікомеда).

Рисунок 6.19

Рисунок 6.20

Конхоїда прямої лінії, що показана на рис.6.21, являє собою геометричне місце точок … на пучку променів, проведених з деякої точки О до прямої яка розташована від точки О на відстані якщо на цих променях по обидва боки лінії відкладати відрізки сталої довжини .

Побудова конхоїди прямої лінії за заданими відстанями і при показана на рис.6.21. Через точку О проведемо осі і Від точки по осі відкладемо заданий відрізок і через точку К проведемо лінію паралельно осі З точки проведемо пучок променів, знаходячи при цьому на лінії точки 1, 2, 3, … З цих точок радіусом засічемо проведені промені дугами. Наприклад, щоб одержати точки і , які належать конхоїді, поставимо вістря циркуля в точку і на промені зробимо засічки радіусом

Побудова конхоїди кола (завитка Паскаля) за заданими відстанями і при показана на рис.6.22. Залежно від співвідношення між діаметром кола і параметром конхоїда кола має різну форму.

Конхоїду кола будуємо в такій послідовності. На осі відкладемо відрізок і на ньому, як на діаметрі, опишемо коло. З точки , як із полюса, проведемо низку променів, які перетнуть описане коло. На промені по обидва боки від точки відкладемо відрізки, що дорівнюють Одержимо точки і Аналогічно знайдемо точки і і і т.д. З’єднавши ці точки плавною кривою, одержимо конхоїду кола. При завиток Паскаля перетворюється в кардіоїду.

Строфоїда – це множина точок, для кожної з яких справедлива рівність, подібна до рівності для точок і при (рис.6.23).

Строфоїду будуємо в такому порядку. Від початку координат (точка ) на осі відкладемо ліворуч і праворуч відрізок заданого розміру (див.рис.6.23). У точці одержимо вершину строфоїди, а через точку паралельно осі проведемо її асимптоту. На осі від точки в обидва боки відкладемо відрізки довільного розміру й помітимо точки З вершини через точки проведемо промені і на них циркулем зробимо засічки радіусами, що дорівнюють ординатам точок Наприклад, для побудови точок і строфоїди треба на промені зробити засічки радіусом, що дорівнює відстані від точки до початку координат – точки

Рисунок 6.22

Рисунок 6.21

Цисоїда – це крива, що описується рівнянням

де - полярний кут; - константа для даної кривої; - полярний кут.

Щоб побудувати цисоїду (рис.6.24), опишемо коло заданого діаметра і, взявши один з його діаметрів за вісь проведемо через точку вісь а через точку - лінію паралельну осі З початку координат – точки - проведемо промені до перетину їх з лінією у точках Після цього на кожному промені відкладемо від початку координат відрізки, що дорівнюють відповідним відрізкам виміряним на променях за межами кола. Наприклад, для побудови будь-якої точки що належить цисоїді, треба відкласти від початку координат відрізок

Лемніската – крива (рис.6.25), що являє собою множину точок, для яких (наприклад, для точки ) добуток відстаней і до двох нерухомих точок і (фокусів лемніскати) має стале значення якщо при цьому і

Для побудови лемніскати накреслимо осі і Відкладемо відрізки і Намітимо довільні точки на відстані від початку координат, що не перевищує і з’єднаємо їх з точкою Встановимо перпендикуляри    й одержимо прямокутні трикутники у яких

Для визначення точки зробимо засічки: з фокуса - радіусом, що дорівнює з фокуса - радіусом Аналогічно знайдемо й інші точки лемніскати. Крива розміститься симетрично відносно осей і

Рисунок 6.23 Рисунок 6.24 Рисунок 6.25

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВIРКИ

1. Яка крива називається елiпсом?

2. Як побудувати елiпс за двома його осями?

3. Яка крива називається гiперболою?

4. Як побудувати гiперболу за фокусною вiдстанню i вiдстанню мiж вершинами?

5. Яка крива називається параболою?

6. Як побудувати параболу за її параметром?

7. Які криві відносяться до спіральних?

8. Як побудувати спіраль Архімеда?

9. Що таке евольвента та як її побудувати?

10. Які криві відносяться до циклічних?

11. Яка різниця між епіциклоїдою та гіпоциклоїдою?

12. Що таке синусоїда? Як її побудувати?

13. Які криві називаються гіпотрохоїдами?

14. Як побудувати строфоїду?

15. Як побудувати конхоїду кола?