5.3.2 Побудова завитків

Завиток - плоска спiральна крива, яка викреслюється циркулем шляхом спряження дуг кiл.

Завитки бувають дво- (рис.5.14), три- (рис.5.15), чотири- та багатоцентровi, тобто побудова завиткiв виконується з двох, трьох, чотирьох i бiльше центрiв.

На рис.5.14 показано побудову завитка при двох центрах, розташованих на відстані а. З центра О₁ радіусом R₁, який дорівнює відстані а, проведемо півколо. Потім з центра О₂ радіусом R₂, який дорівнює О₂1, опишемо наступне півколо. Далі побудову продовжуватимемо в тій же послідовності, збільшуючи радіуси дуг на розмір а. Точки спряження завитка розміщуються на прямій, що з’єднує центри дуг.

На рис.5.15 зображено завиток, побудований при трьох центрах О₁, О₂ і О₃, які є вершинами рівностороннього трикутника зі стороною а. Сторони трикутника продовжуємо. З центра О₁ радіусом R₁=a, проводимо дугу О₃1, потім з центра О₂ радіусом R₂, який дорівнює 2а, - дугу 12. Далі у тій же послідовності проводимо ще декілька дуг.

Рисунок 5.14 Рисунок 5.15

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВIРКИ

1. Що називається спряженням i якi основнi його елементи?

2. Як побудувати спряження двох прямих, що перетинаються?

3. Як побудувати внутрiшнє, зовнiшнє i змiшане спряження двох кiл?

4. Що таке коробова крива?

5. Пояснiть побудову овала за двома осями.

6. Пояснiть побудову три- та чотирицентрових завиткiв.

6 Лекальнi кривi

Лекальними називаються кривi, якi креслять за допомогою лекал за попередньо знайденими окремими точками. До лекальних кривих належать елiпс, парабола, гiпербола, синусоїда, циклоїда, епіциклоїда, гіпоциклоїда та iн.

6.1 Послiдовнiсть побудови лекальної кривої

Розглянемо побудову плоских лекальних кривих, тобто таких, у яких точки, за якими вони будуються, лежать в однiй площинi. Цi точки сполучають плавною лiнiєю спочатку вiд руки олiвцем, а потiм обводять за допомогою лекал (рис.6.1).

Щоб накреслити плавну лекальну криву, треба мати кiлька лекал. Вибравши потрiбне лекало, необхiдно пiдiгнати край частини лекала до якомога бiльшої кiлькостi заданих точок кривої. На рис.6.1 частина кривої мiж точками 1-6 уже обведена. Щоб обвести наступну частину кривої, необхiдно прикласти край лекала, наприклад, до точок 5-10, при цьому лекало повинно дотикатися до частини уже обведеної кривої (мiж точками 5 i 6). Потiм обводять криву мiж точками 6 i 9, залишаючи частину мiж точками 9 i 10 необведеною, що уможливить отримати криву мiж точками 9 i 12 бiльш плавною.

Нижче розглянемо способи побудови кривих, якi найчастiше зустрiчаються в технiцi.

6.2 Криві другого порядку

Криві другого порядку утворюються внаслідок перетину прямого кругового конуса площиною; в перерізах отримують еліпс, параболу або гіперболу.

Елiпсом називається замкнена плоска крива, що являє собою геометричне мiсце точок К, для яких сума вiдстаней R₁ i R₂ до двох заданих точок F₁ i F₂ (фокусiв) є величина стала, що дорiвнює великiй осi елiпса, тобто R₁+R₂ = АВ (рис.6.2). Елiпс має двi осi симетрiї: велику вiсь АВ=2а i малу CD=2в. Точки A,B,C,D - вершини елiпса. Вiдстань F₁F₂ =2с називається фокусною. Точка О - центр елiпса.

Розглянемо побудову елiпса за його великою АВ i малою CD осями (рис.6.3). З центра О елiпса проводять два концентричних кола, дiаметри яких дорiвнюють великiй осi АВ i малiй осi CD еліпса. Велике коло дiлять на певну кiлькiсть рiвних частин, наприклад на 12, i точки подiлу сполучають радiусами з центром О. Цi радiуси дiлять мале коло на таку саму кiлькiсть рiвних частин. З точок 1,2,... великого кола проводять вертикальнi променi, паралельнi малiй осi елiпса, а з точок 1^/,2^/ ,... малого кола - горизонтальнi променi, паралельнi великiй осi. Перетин променiв, проведених з однаково позначених точок подiлу, дадуть точки елiпса I,II,… Цi точки послiдовно сполучають плавною кривою.

Рисунок 6.1 Рисунок 6.2 Рисунок 6.3

Існують й iншi способи побудови елiпса.

Гiперболою називається незамкнена плоска крива, в якої рiзниця вiдстаней будь-якої точки К вiд фокусiв F₁ i F₂ є величина стала, що дорiвнює вiдстанi мiж вершинами гiперболи, тобто R₁ –R₂ = АВ (рис.6.4).

Гiпербола має двi осi симетрiї - дiйсну АВ i уявну CD. Точки А i В - вершини гiперболи, а - величина дiйсної пiвосi, в - величина уявної пiвосi. Вiдстань F₁F₂ називається фокусною (F₁F₂=2с). Точка О - центр гiперболи. Прямi i , що проходять через центр гiперболи, називаються її асимптотами. Асимптоти необмежено наближаються до гiлок гiперболи.

Розглянемо побудову гiперболи за фокусною вiдстанню F₁F₂ = 2с i вiдстанню мiж вершинами АВ=2а (рис.6.5). Проводять двi взаємно перпендикулярнi прямi i вiдкладають вiд точки О вiдрiзки ОА=ОВ=а; ОF₁ =ОF₂ =с. Радiусом OF₁ з центра О будують пiвколо i з вершин А та В ставлять перпендикуляри AM₁ i BM₂ до дiйсної осi гiперболи. Через центр О i знайденi точки M₁ i M₂ пройдуть асимптоти i . На осi гiперболи позначають кiлька довiльних точок 1,2,3,..., вiдстань мiж якими в мiру вiддалення вiд фокуса F₂ збiльшується. З фокусiв F₁ i F₂, як iз центрiв, роблять засiчки радiусами, якi дорiвнюють вiдстаням вiд будь-якої з цих точок до вершин гiперболи А i В. Наприклад, щоб знайти точку II, проводять дуги радiусом R₂ = 2В з фокуса F₂ , а потiм зустрiчну дугу радiусом R₁ =2А з фокуса F₁. Лiву гiлку гiперболи будують симетрично вiдносно уявної осi CD.

Рисунок 6.4 Рисунок 6.5

У техніці часто застосовується

рівнобічна гіпербола (рис.6.6). Даними

для її побудови є осі Ox і Oy та точка

N гіперболи. Через точку N проводять

прямі AB і CD, паралельні відповідно

осям Oy і Ox. На прямій AB наносять

низку довільних точок 1,2,3,… і проводять

через них прямі, паралельні осі Ox.

Через ці ж точки і точку O проводять

низку променів до перетину з прямою CD. Рисунок 6.6

Із здобутих точок перетину К₁, К₂, … проводять прямі, паралельні осі Oy. В перетині цих прямих з прямими, проведеними з точок 1,2,3, … паралельно осі Ox, отримують шукані точки гіперболи, які сполучають за допомогою лекала.

Параболою називається незамкнена плоска крива, кожна точка якої однаково вiддалена вiд напрямної прямої (директриси) KL i вiд фокуса F (рис.6.7).

Точка А - вершина параболи. Пряма BF - вiсь параболи. Вiдстань вiд фокуса F до директриси KL називається фокальним параметром p. Вершина параболи мiститься на вiдстанi p/2 вiд фокуса i директриси.

Розглянемо побудову параболи за параметром p (рис.6.8). Проводять двi взаємно перпендикулярнi прямi: директрису KL i вiсь BC. На осi вiдкладають вiдрiзок BF=p i знаходять фокус параболи F. На осi беруть точки 1,2,3,... так, щоб вiдстань мiж ними поступово збiльшувалася, i через цi точки проводять прямi, перпендикулярнi до осi. З фокуса F, як iз центра, радiусами, що дорiвнюють вiдповiдно вiдрiзкам 1В, 2В, 3В,..., роблять засiчки на цих перпендикулярах i мають точки параболи. Наприклад, щоб дiстати точку II, вимiрюють вiдрiзок 2В=а й iз фокуса F радiусом R=а роблять засiчки на перпендикулярi, проведеному через точку 2. Знайденi точки I,II,III,... сполучають за допомогою лекал.

Якщо задані вісь АО і вершина А параболи, а також точка С, що належить параболі (рис.6.9), то будують прямокутник АВСО. Його сторони АВ і ВС ділять на однакову кількість рівних частин. Через точки поділу сторони АВ паралельно осі параболи проводять прямі лінії, а точки поділу сторони ВС сполучають з вершиною параболи. Відповідні точки сполучають за допомогою лекала.

Рисунок 6.7 Рисунок 6.8 Рисунок 6.9