5.3 Побудова коробових кривих

Коробовими називаються опуклi кривi, утворенi спряженням дуг кiл. До коробових кривих належать овали, овоїди, завитки тощо.

5.3.1 Побудова овалів

Овал - це замкнена коробова крива, яка має двi осi симетрiї.

Нижче подано декілька способів побудови овала за заданою великою віссю АВ.

Перший з них. Довжину великої осі овала – відрізок АВ ділимо на чотири однакові частини (рис.5.8). Центрами кінцевих дуг є точки О₁ і О₂. Центри О₃ і О₄ одержимо в точках перетину допоміжних дуг, проведених з О₁ та О₂ радіусом R₁, який дорівнює О₁О₂, тобто . З центрів О₁ і О₂ проведемо дуги радіусом до перетину в точках D, E, F і C з прямими, проведеними через точки О₄ і О₁, О₃ і О₁, О₄ і О₂, О₃ і О₂. Точки C, D, E і F є точками спряження. Дуги з центрів О₃ і О₄ опишемо радіусом

Поділом великої осі АВ на чотири частини можна побудувати овал дещо іншим способом (рис.5.9). Для цього через центр овала О проведемо малу вісь перпендикулярно до АВ і з цього ж центра радіусом ОО₁=ОА/2 опишемо коло. Перетин його з малою віссю визначить центри О₃ і О₄. З центрів О₁ і О₂ радіусом О₁А опишемо дуги між точками C, D і E, F, а з центрів О₃ і О₄ дугами радіусів О₄D замкнемо криву. Точки дотику C, D, E, F дуг лежатимуть на лінії центрів.

Рисунок 5.8 Рисунок 5.9

Побудову овала за довільним співвідношенням між величинами великої і малої осей овала показано на рис.5.10. Вісь АВ ділимо навпіл. З точки О по обидва боки осі АВ довільно вибираємо точки О₁ і О₂ так, щоб ОО₁=ОО₂. Через точку О проводимо малу вісь перпендикулярно до АВ і на ній відкладаємо довільні, але однакові відрізки ОО₃=ОО₄. З точки О₁ радіусом АО₁=R₂ проводимо дугу до перетину з продовженням прямих О₁О₄ і О₁О₃ у точках D і С, як точках дотику дуг. Аналогічно знаходимо точки E і F. З точок О₃ і О₄, як із центрів, радіусами О₄D=R₁ та О₃С=R₁ спряжемо побудовані дуги.

Ще один спосіб побудови овала (рис.5.11). Ділимо велику вісь АВ на три однакові частини. Отримуємо центри О₁ і О₂. Описавши з цих центрів кола радіусом О₁А одержимо точки О₃ і О₄. Центрами дуг спряження будуть точки О₁, О₂, О₃, О₄. Точки дотику C, D, E, F дістанемо, провівши прямі через центри спряження до перетину з описаними колами. З центрів О₁ і О₂ проводимо дуги радіусом О₁А=R₁ між точками C, D і E, F, а з центрів О₃ і О₄ дугами радіусом О₃F=O₄D замкнемо криву.

Рисунок 5.10 Рисунок 5.11

На рис.5.12 показано побудову овала за двома заданими осями АВ і CD. Проведемо лінію, яка з’єднає кінці осей А і С. З центра О радіусом ОА проведемо дугу до перетину з малою віссю й одержимо точку А₁. З точки С, як із центра, радіусом А₁С проведемо дугу до перетину з прямою АС у точці А₂. Поділимо відрізок АА₂ навпіл і через його середину встановимо перпендикуляр до перетину з великою і малою півосями у точках О₁ і О₃, які будуть відповідно центрами дуг EF і FH. Центри О₂ і О₄ лежать симетрично на лініях великої і малої осей відносно центра овала О.

Овал, що має одну вісь симетрії, називається овоїдом. На рис.5.13 показано побудову овоїда за заданим радіусом R. З центра О опишемо коло радіусом R. У перетині кола з його взаємно перпендикулярними діаметрами – осями овоїда – матимемо точки . Точки А і С з’єднаємо з точкою . З точки А радіусом R₁ проведемо дугу до перетину з , а з точки С – дугу до перетину з Радіусом R₂ з точки опишемо дугу ED. Точками спряження дуг будуть

Рисунок 5.12 Рисунок 5.13